MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leloed Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leloed 10771
Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
leloed (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem leloed
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 leloe 10715 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cr 10524   < clt 10663  cle 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669
This theorem is referenced by:  mulge0  11146  prodgt0  11475  lemul1  11480  fimaxre  11572  fiminre  11576  supfirege  11615  nn0le2is012  12034  nn0o1gt2  15720  2mulprm  16025  reconnlem1  23361  reconnlem2  23362  ivthle  23984  ivthle2  23985  ovolicc2lem3  24047  itgsplitioo  24365  dvlip  24517  dvge0  24530  dvfsumlem1  24550  dgrco  24792  plydivex  24813  coseq00topi  25015  logreclem  25267  scvxcvx  25490  pntrlog2bndlem5  26084  dnibndlem13  33726  elpell1qr2  39347  pellfundex  39361  fmul01lt1lem2  41742  wallispilem3  42229  fourierdlem25  42294  fourierdlem42  42311  lighneallem4b  43651  nn0o1gt2ALTV  43736  stgoldbwt  43818  sbgoldbwt  43819  sbgoldbalt  43823  nnsum3primesle9  43836  bgoldbtbndlem1  43847
  Copyright terms: Public domain W3C validator