MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leltadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leltadd 10464
Description: Adding both sides of two orderings. (Contributed by NM, 15-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
leltadd (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶𝐵 < 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem leltadd
StepHypRef Expression
1 ltleadd 10463 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐵 < 𝐷𝐴𝐶) → (𝐵 + 𝐴) < (𝐷 + 𝐶)))
21ancomsd 470 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶𝐵 < 𝐷) → (𝐵 + 𝐴) < (𝐷 + 𝐶)))
32ancom2s 843 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶𝐵 < 𝐷) → (𝐵 + 𝐴) < (𝐷 + 𝐶)))
43ancom1s 846 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶𝐵 < 𝐷) → (𝐵 + 𝐴) < (𝐷 + 𝐶)))
5 recn 9978 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6 recn 9978 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
7 addcom 10174 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
85, 6, 7syl2an 494 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
9 recn 9978 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
10 recn 9978 . . . 4 (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℂ)
11 addcom 10174 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
129, 10, 11syl2an 494 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
138, 12breqan12d 4634 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐵 + 𝐴) < (𝐷 + 𝐶)))
144, 13sylibrd 249 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶𝐵 < 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  cc 9886  cr 9887   + caddc 9891   < clt 10026  cle 10027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032
This theorem is referenced by:  lt2add  10465  addgegt0  10467  leltaddd  10601  fldiv  12607
  Copyright terms: Public domain W3C validator