MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leltned Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leltned 10187
Description: 'Less than or equal to' implies 'less than' is not 'equals'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
leltned (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem leltned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 leltned.3 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
4 leltne 10124 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
51, 2, 3, 4syl3anc 1325 1 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 1989  wne 2793   class class class wbr 4651  cr 9932   < clt 10071  cle 10072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-resscn 9990  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077
This theorem is referenced by:  leneltd  10188  nn01to3  11778  elfznelfzo  12569  absgt0  14058  blcvx  22595  pmltpclem2  23212  abelthlem2  24180  logcj  24346  argimgt0  24352  dvloglem  24388  logf1o2  24390  asinneg  24607  dchrelbas4  24962  lgseisen  25098  m1lgs  25107  dchrisum0flblem1  25191  clwlkclwwlklem2a4  26892  eucrct2eupth  27098  erdszelem9  31166  areacirc  33485
  Copyright terms: Public domain W3C validator