MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lelttr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lelttr 10340
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 23-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lelttr ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lelttr
StepHypRef Expression
1 leloe 10336 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
213adant3 1127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
3 lttr 10326 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
43expd 451 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶)))
5 breq1 4807 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶))
65biimprd 238 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶))
76a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶)))
84, 7jaod 394 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵) → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶)))
92, 8sylbid 230 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶)))
109impd 446 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cr 10147   < clt 10286  cle 10287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292
This theorem is referenced by:  letr  10343  lelttri  10376  lelttrd  10407  letrp1  11077  ltmul12a  11091  ledivp1  11137  supmul1  11204  bndndx  11503  uzind  11681  fnn0ind  11688  rpnnen1lem5  12031  rpnnen1lem5OLD  12037  xrinfmsslem  12351  elfzo0z  12724  nn0p1elfzo  12725  fzofzim  12729  elfzodifsumelfzo  12748  flge  12820  flflp1  12822  flltdivnn0lt  12848  modfzo0difsn  12956  fsequb  12988  expnlbnd2  13209  ccat2s1fvw  13634  swrdswrd  13680  swrdccatin12lem3  13710  repswswrd  13751  caubnd2  14316  caubnd  14317  mulcn2  14545  cn1lem  14547  rlimo1  14566  o1rlimmul  14568  climsqz  14590  climsqz2  14591  rlimsqzlem  14598  climsup  14619  caucvgrlem2  14624  iseralt  14634  cvgcmp  14767  cvgcmpce  14769  ruclem3  15181  ruclem12  15189  ltoddhalfle  15307  algcvgblem  15512  ncoprmlnprm  15658  pclem  15765  infpn2  15839  gsummoncoe1  19896  mp2pm2mplem4  20836  metss2lem  22537  ngptgp  22661  nghmcn  22770  iocopnst  22960  ovollb2lem  23476  ovolicc2lem4  23508  volcn  23594  ismbf3d  23640  dvcnvrelem1  23999  dvfsumrlim  24013  ulmcn  24372  mtest  24377  logdivlti  24586  isosctrlem1  24768  ftalem2  25020  chtub  25157  bposlem6  25234  gausslemma2dlem2  25312  chtppilim  25384  dchrisumlem3  25400  pntlem3  25518  clwlkclwwlklem2a  27142  vacn  27879  nmcvcn  27880  blocni  27990  chscllem2  28827  lnconi  29222  staddi  29435  stadd3i  29437  ltflcei  33728  poimirlem29  33769  geomcau  33886  heibor1lem  33939  bfplem2  33953  rrncmslem  33962  climinf  40359  leltletr  41836  zm1nn  41844  iccpartigtl  41887  tgoldbach  42233  tgoldbachOLD  42240  ply1mulgsumlem2  42703  difmodm1lt  42845
  Copyright terms: Public domain W3C validator