MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lelttr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lelttr 10720
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 23-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lelttr ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lelttr
StepHypRef Expression
1 leloe 10716 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
213adant3 1124 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
3 lttr 10706 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
43expd 416 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶)))
5 breq1 5061 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶))
65biimprd 249 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶))
76a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶)))
84, 7jaod 853 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵) → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶)))
92, 8sylbid 241 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶)))
109impd 411 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5058  cr 10525   < clt 10664  cle 10665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670
This theorem is referenced by:  letr  10723  lelttri  10756  lelttrd  10787  letrp1  11473  ltmul12a  11485  ledivp1  11531  supmul1  11599  bndndx  11885  uzind  12063  fnn0ind  12070  rpnnen1lem5  12370  xrinfmsslem  12691  elfzo0z  13069  nn0p1elfzo  13070  fzofzim  13074  elfzodifsumelfzo  13093  flge  13165  flflp1  13167  flltdivnn0lt  13193  modfzo0difsn  13301  fsequb  13333  expnlbnd2  13585  ccat2s1fvw  13988  ccat2s1fvwOLD  13989  swrdswrd  14057  pfxccatin12lem3  14084  repswswrd  14136  caubnd2  14707  caubnd  14708  mulcn2  14942  cn1lem  14944  rlimo1  14963  o1rlimmul  14965  climsqz  14987  climsqz2  14988  rlimsqzlem  14995  climsup  15016  caucvgrlem2  15021  iseralt  15031  cvgcmp  15161  cvgcmpce  15163  ruclem3  15576  ruclem12  15584  ltoddhalfle  15700  algcvgblem  15911  ncoprmlnprm  16058  pclem  16165  infpn2  16239  gsummoncoe1  20402  mp2pm2mplem4  21347  metss2lem  23050  ngptgp  23174  nghmcn  23283  iocopnst  23473  ovollb2lem  24018  ovolicc2lem4  24050  volcn  24136  ismbf3d  24184  dvcnvrelem1  24543  dvfsumrlim  24557  ulmcn  24916  mtest  24921  logdivlti  25130  isosctrlem1  25323  ftalem2  25579  chtub  25716  bposlem6  25793  gausslemma2dlem2  25871  chtppilim  25979  dchrisumlem3  25995  pntlem3  26113  clwlkclwwlklem2a  27704  vacn  28399  nmcvcn  28400  blocni  28510  chscllem2  29343  lnconi  29738  staddi  29951  stadd3i  29953  ltflcei  34762  poimirlem29  34803  geomcau  34917  heibor1lem  34970  bfplem2  34984  rrncmslem  34993  climinf  41767  leltletr  43374  zm1nn  43383  iccpartigtl  43430  tgoldbach  43829  ply1mulgsumlem2  44339  difmodm1lt  44480
  Copyright terms: Public domain W3C validator