MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lelttric Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lelttric 10104
Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
lelttric ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lelttric
StepHypRef Expression
1 pm2.1 433 . 2 𝐵 < 𝐴𝐵 < 𝐴)
2 lenlt 10076 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
32orbi1d 738 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴𝐵 < 𝐴)))
41, 3mpbiri 248 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384  wcel 1987   class class class wbr 4623  cr 9895   < clt 10034  cle 10035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-br 4624  df-opab 4684  df-xp 5090  df-cnv 5092  df-xr 10038  df-le 10040
This theorem is referenced by:  ltlecasei  10105  fzsplit2  12324  uzsplit  12369  fzospliti  12457  fzouzsplit  12460  discr1  12956  faclbnd  13033  faclbnd4lem1  13036  faclbnd4lem4  13039  dvdslelem  14974  dvdsprmpweqle  15533  icccmplem2  22566  icccmp  22568  bcmono  24936  bpos1lem  24941  bposlem3  24945  bpos  24952  fzsplit3  29436  submateq  29699  lzunuz  36850  jm2.24  37049  iccpartnel  40702  bgoldbtbnd  41016  tgoldbach  41023  tgoldbachOLD  41030
  Copyright terms: Public domain W3C validator