Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemaxle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemaxle 11977
 Description: A real number which is less than or equal to a second real number is less than or equal to the maximum/supremum of the second real number and a third real number. (Contributed by AV, 8-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
lemaxle (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem lemaxle
StepHypRef Expression
1 max2 11969 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶))
21ancoms 469 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶))
32adantr 481 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶))
4 simpr 477 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 simpll 789 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 ifcl 4107 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ)
76adantr 481 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ)
8 letr 10083 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶)) → 𝐴 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶)))
94, 5, 7, 8syl3anc 1323 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶)) → 𝐴 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶)))
103, 9mpan2d 709 . 2 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶)))
11103impia 1258 1 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   ∈ wcel 1987  ifcif 4063   class class class wbr 4618  ℝcr 9887   ≤ cle 10027 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032 This theorem is referenced by:  setsstructOLD  15831
 Copyright terms: Public domain W3C validator