MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul12ad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemul12ad 10817
Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltp1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ltmul12ad.3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
lemul12ad.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
lemul12ad.5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul12ad.6 (𝜑𝐴𝐵)
lemul12ad.7 (𝜑𝐶𝐷)
Assertion
Ref Expression
lemul12ad (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷))

Proof of Theorem lemul12ad
StepHypRef Expression
1 lemul12ad.6 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 lemul12ad.7 . 2 (𝜑𝐶𝐷)
3 ltp1d.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 lemul12ad.4 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
53, 4jca 552 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6 divgt0d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 lemul1ad.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
8 lemul12ad.5 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
97, 8jca 552 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
10 ltmul12ad.3 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
11 lemul12a 10732 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
125, 6, 9, 10, 11syl22anc 1318 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
131, 2, 12mp2and 710 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6526  cr 9791  0cc0 9792   · cmul 9797  cle 9931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120
This theorem is referenced by:  supmullem1  10842  faclbnd  12896  o1mul  14141  fprodge1  14513  lgamgulmlem2  24500  lgamgulmlem3  24501  dchrmusum2  24927  dchrvmasumlem3  24932  dchrisum0lem2a  24950  mudivsum  24963  mulogsumlem  24964  selberg2b  24985  selberg3lem2  24991  pntrlog2bndlem3  25012  pntrlog2bndlem4  25013  pntrlog2bnd  25017  smcnlem  26729  dvdivbd  38596  dvbdfbdioolem1  38601  stoweidlem16  38692  fourierdlem39  38822  etransclem23  38933
  Copyright terms: Public domain W3C validator