Theorem lemul2it 5841

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
lemul2it	⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ (C ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ C)) ⋀ A ≤ B) → (C · A) ≤ (C · B))

Proof of Theorem lemul2it

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lemul1it 5839	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ (C ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ C)) ⋀ A ≤ B) → (A · C) ≤ (B · C))
2		axmulcom 5288	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℂ) → (A · C) = (C · A))
3		recnt 5325	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℝ → A ∈ ℂ)
4		recnt 5325	. . . . . 6 ⊢ (C ∈ ℝ → C ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	syl2an 456	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ C ∈ ℝ) → (A · C) = (C · A))
6	5	adantrr 397	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ (C ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ C)) → (A · C) = (C · A))
7	6	3adant2 800	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ (C ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ C)) → (A · C) = (C · A))
8	7	adantr 391	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ (C ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ C)) ⋀ A ≤ B) → (A · C) = (C · A))
9		axmulcom 5288	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℂ ⋀ C ∈ ℂ) → (B · C) = (C · B))
10		recnt 5325	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ ℝ → B ∈ ℂ)
11	9, 10, 4	syl2an 456	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℝ ⋀ C ∈ ℝ) → (B · C) = (C · B))
12	11	adantrr 397	. . . 4 ⊢ ((B ∈ ℝ ⋀ (C ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ C)) → (B · C) = (C · B))
13	12	3adant1 799	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ (C ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ C)) → (B · C) = (C · B))
14	13	adantr 391	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ (C ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ C)) ⋀ A ≤ B) → (B · C) = (C · B))
15	1, 8, 14	3brtr3d 2649	1 ⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ (C ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ C)) ⋀ A ≤ B) → (C · A) ≤ (C · B))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  0cc0 5246   · cmul 5251   ≤ cle 5307

This theorem is referenced by:  lemul12ait 5844  nmoub3i 8432  ubthlem12 8536  minveclem16 8556  minveclem38 8578  htthlem6 8621  lemul2itALT 10365

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503

Copyright terms: Public domain