MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemuldivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemuldivd 11881
Description: 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
lemuldivd (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem lemuldivd
StepHypRef Expression
1 ltmul1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltmul1d.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltmul1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
43rpregt0d 11838 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
5 lemuldiv 10863 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐵 / 𝐶)))
61, 2, 4, 5syl3anc 1323 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐵 / 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  cr 9895  0cc0 9896   · cmul 9901   < clt 10034  cle 10035   / cdiv 10644  +crp 11792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-rp 11793
This theorem is referenced by:  leexp2a  12872  bitsfzolem  15099  bitsfzo  15100  bitscmp  15103  gexexlem  18195  ovolsca  23223  abelthlem7  24130  cxpaddle  24427  divsqrtsumo1  24644  fsumharmonic  24672  lgamgulmlem5  24693  basellem8  24748  fsumvma2  24873  chpchtsum  24878  chpub  24879  logexprlim  24884  efexple  24940  chpchtlim  25102  rplogsumlem2  25108  dchrisum0lem1a  25109  dchrmusum2  25117  dchrvmasumlem2  25121  dchrisum0lem1  25139  mulog2sumlem2  25158  vmalogdivsum2  25161  2vmadivsumlem  25163  selberglem2  25169  chpdifbndlem1  25176  selberg3lem1  25180  selberg4lem1  25183  pntrlog2bndlem5  25204  pntlemh  25222  pntlemn  25223  pntlemr  25225  pntlemj  25226  ttgcontlem1  25699  unbdqndv2lem2  32196  itg2addnclem2  33133  fourierdlem64  39724
  Copyright terms: Public domain W3C validator