Theorem lencl 13885

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 13884	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)
2		hashcl 13720	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  Fincfn 8511  ℕ₀cn0 11900  ♯chash 13693  Word cword 13864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694  df-word 13865

This theorem is referenced by:  wrdffz  13887  wrdnfi  13901  wrdsymb0  13903  wrdlenge1n0  13904  wrdlenge2n0  13906  wrdsymb1  13907  eqwrd  13911  wrdred1  13914  wrdred1hash  13915  ccatcl  13928  ccatlen  13929  ccatlenOLD  13930  ccat0  13931  ccatval1  13932  ccatval1OLD  13933  ccatval3  13935  elfzelfzccat  13936  ccatsymb  13938  ccatfv0  13939  ccatval21sw  13941  ccatlid  13942  ccatrid  13943  ccatass  13944  ccatrn  13945  lswccatn0lsw  13947  ccatalpha  13949  ccatws1lenp1b  13977  wrdlenccats1lenm1  13978  ccatw2s1len  13982  ccats1val2  13985  ccatws1n0  13993  lswccats1fst  13996  ccatw2s1p1  13997  ccatw2s1p1OLD  13998  ccat2s1fvw  14000  ccat2s1fvwOLD  14001  swrdnd  14018  swrdnd2  14019  swrdnd0  14021  swrdrlen  14023  swrdlen2  14024  swrdfv2  14025  swrdlsw  14031  swrdccat2  14033  pfxid  14048  pfxn0  14050  pfxnd0  14052  addlenrevpfx  14054  addlenpfx  14055  pfxtrcfv0  14058  pfxeq  14060  pfxtrcfvl  14061  pfxsuffeqwrdeq  14062  pfxccat1  14066  pfxcctswrd  14074  ccats1pfxeq  14078  ccats1pfxeqrex  14079  ccatopth2  14081  cats1un  14085  wrdind  14086  wrd2ind  14087  swrdccatin1  14089  swrdccatin2  14093  pfxccatin12lem2  14095  pfxccatin12lem3  14096  pfxccatin12  14097  pfxccat3  14098  swrdccat  14099  pfxccatpfx2  14101  pfxccat3a  14102  swrdccat3blem  14103  swrdccat3b  14104  pfxccatid  14105  ccats1pfxeqbi  14106  spllen  14118  splfv1  14119  splfv2a  14120  splval2  14121  revcl  14125  revlen  14126  revccat  14130  revrev  14131  repswsymball  14143  repswsymballbi  14144  cshw0  14158  cshwsublen  14160  cshwn  14161  cshwlen  14163  cshwidxmod  14167  2cshwid  14178  3cshw  14182  cshweqdif2  14183  cshw1  14186  scshwfzeqfzo  14190  revco  14198  ccatco  14199  cats1fvn  14222  cats1fv  14223  pfx2  14311  swrd2lsw  14316  2swrd2eqwrdeq  14317  ccat2s1fvwALT  14320  ccat2s1fvwALTOLD  14321  cshwshashnsame  16439  gsmsymgrfixlem1  18557  gsmsymgreqlem2  18561  pmtrdifwrdellem2  18612  psgnuni  18629  psgnran  18645  efginvrel2  18855  efgsdmi  18860  efgsval2  18861  efgsp1  18865  efgsfo  18867  efgredlemf  18869  efgredlemg  18870  efgredleme  18871  efgredlemd  18872  efgredlemc  18873  efgredlem  18875  efgred  18876  efgcpbllemb  18883  frgpuplem  18900  frgpnabllem1  18995  pgpfaclem1  19205  psgnghm  20726  upgrewlkle2  27390  wlkcl  27399  wlkeq  27417  wlkv0  27434  wlklenvclwlk  27438  wlklenvclwlkOLD  27439  redwlklem  27455  wlkp1lem3  27459  wlkp1lem8  27464  wlkdlem1  27466  pthdlem1  27549  pthdlem2  27551  wlkiswwlks1  27647  wlkiswwlks2lem1  27649  wlkiswwlks2lem3  27651  wlkiswwlks2lem4  27652  wwlksm1edg  27661  wlklnwwlkln2lem  27662  wwlksnextbi  27674  wwlksnextproplem2  27691  wwlksnextproplem3  27692  rusgrnumwwlks  27755  clwwlkccatlem  27769  umgrclwwlkge2  27771  clwlkclwwlklem2a1  27772  clwlkclwwlklem2a2  27773  clwlkclwwlklem2a4  27777  clwlkclwwlklem2a  27778  clwlkclwwlklem2  27780  clwlkclwwlklem3  27781  clwlkclwwlk  27782  clwlkclwwlk2  27783  clwlkclwwlkfo  27789  clwwisshclwwslem  27794  erclwwlkref  27800  clwwlkn  27806  clwwlkwwlksb  27835  clwlknf1oclwwlknlem1  27862  clwwlknonex2lem2  27889  eupth2eucrct  27998  eucrctshift  28024  numclwlk2lem2f1o  28160  ccatf1  30627  pfxlsw2ccat  30628  wrdt2ind  30629  splfv3  30634  cycpmfv1  30757  cycpmfv2  30758  cycpmco2f1  30768  cycpmco2rn  30769  cycpmco2lem3  30772  cycpmco2lem4  30773  cycpmco2lem5  30774  cycpmco2lem6  30775  cycpmco2lem7  30776  cycpmco2  30777  cycpmrn  30787  cyc3genpm  30796  sseqfv1  31649  sseqfn  31650  sseqmw  31651  sseqf  31652  sseqfv2  31654  sseqp1  31655  ofcccat  31815  signstlen  31839  signstfvn  31841  signstfvp  31843  signstfvneq0  31844  signstfvc  31846  signstfveq0a  31848  signstfveq0  31849  signshf  31860  signshlen  31862  signshnz  31863  lpadlem3  31951  lpadlem2  31953  lpadlen2  31954  lpadmax  31955  lpadleft  31956  lpadright  31957  revpfxsfxrev  32364  revwlk  32373  elmrsubrn  32769  ccatcan2d  39134  lswn0  43611