Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lenlteq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lenlteq 39031
Description: 'less than or equal to' but not 'less than' implies 'equal' . (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lenlteq.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
lenlteq.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lenlteq.3 (𝜑𝐴𝐵)
lenlteq.4 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
lenlteq (𝜑𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem lenlteq
StepHypRef Expression
1 lenlteq.3 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
2 lenlteq.4 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐵)
31, 2jca 554 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵))
4 lenlteq.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 lenlteq.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6 eqlelt 10070 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
74, 5, 6syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
83, 7mpbird 247 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992   class class class wbr 4618  cr 9880   < clt 10019  cle 10020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025
This theorem is referenced by:  voliooico  39503  voliccico  39510  volico2  40149
  Copyright terms: Public domain W3C validator