Theorem leopmul 29121

Description: The scalar product of a positive real and a positive operator is a positive operator. Exercise 1(ii) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 23-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leopmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → ( 0hop ≤op 𝑇 ↔ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)))

Proof of Theorem leopmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1078	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp))
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op 𝑇) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp))
3		0re 10078	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 10164	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	4	3impia 1280	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
6	3, 5	mp3an1 1451	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
7	6	3adant2 1100	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
8	7	anim1i 591	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op 𝑇) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0hop ≤op 𝑇))
9		leopmuli 29120	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0hop ≤op 𝑇)) → 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇))
10	2, 8, 9	syl2anc 694	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op 𝑇) → 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇))
11		gt0ne0 10531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
12		rereccl 10781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
13	11, 12	syldan 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
14	13	3adant2 1100	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
15		hmopm 29008	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp)
16	15	3adant3 1101	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp)
17		recgt0 10905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
18		ltle 10164	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴)))
19	3, 13, 18	sylancr 696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴)))
20	17, 19	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
21	20	3adant2 1100	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
22	14, 16, 21	jca31 556	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)))
23		leopmuli 29120	. . . . 5 ⊢ ((((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐴) ∧ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇))) → 0hop ≤op ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
24	23	anassrs 681	. . . 4 ⊢ (((((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∧ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)) → 0hop ≤op ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
25	22, 24	sylan 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)) → 0hop ≤op ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
26		recn 10064	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
28	27, 11	recid2d 10835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
29	28	oveq1d 6705	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·op 𝑇) = (1 ·op 𝑇))
30	29	3adant2 1100	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·op 𝑇) = (1 ·op 𝑇))
31	27, 11	reccld 10832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
32	31	3adant2 1100	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
33	26	3ad2ant1 1102	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
34		hmopf 28861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
35	34	3ad2ant2 1103	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
36		homulass 28789	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·op 𝑇) = ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
37	32, 33, 35, 36	syl3anc 1366	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·op 𝑇) = ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
38		homulid2 28787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
39	34, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
40	39	3ad2ant2 1103	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
41	30, 37, 40	3eqtr3d 2693	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)) = 𝑇)
42	41	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)) → ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)) = 𝑇)
43	25, 42	breqtrd 4711	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)) → 0hop ≤op 𝑇)
44	10, 43	impbida 895	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → ( 0hop ≤op 𝑇 ↔ 0hop ≤op (𝐴 ·op 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   class class class wbr 4685  ⟶wf 5922  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113   / cdiv 10722   ℋchil 27904   ·_op chot 27924   0_hop ch0o 27928  HrmOpcho 27935   ≤_op cleo 27943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070  ax-hcompl 28187

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-lm 21081  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-dip 27684  df-ssp 27705  df-ph 27796  df-cbn 27847  df-hnorm 27953  df-hba 27954  df-hvsub 27956  df-hlim 27957  df-hcau 27958  df-sh 28192  df-ch 28206  df-oc 28237  df-ch0 28238  df-shs 28295  df-pjh 28382  df-hosum 28717  df-homul 28718  df-hodif 28719  df-h0op 28735  df-hmop 28831  df-leop 28839

This theorem is referenced by:  opsqrlem6  29132