HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leopmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leopmul 28179
Description: The scalar product of a positive real and a positive operator is a positive operator. Exercise 1(ii) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 23-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leopmul ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → ( 0hopop 𝑇 ↔ 0hopop (𝐴 ·op 𝑇)))

Proof of Theorem leopmul
StepHypRef Expression
1 3simpa 1050 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp))
21adantr 479 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hopop 𝑇) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp))
3 0re 9892 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
4 ltle 9973 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
543impia 1252 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
63, 5mp3an1 1402 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
763adant2 1072 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
87anim1i 589 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hopop 𝑇) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0hopop 𝑇))
9 leopmuli 28178 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0hopop 𝑇)) → 0hopop (𝐴 ·op 𝑇))
102, 8, 9syl2anc 690 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hopop 𝑇) → 0hopop (𝐴 ·op 𝑇))
11 gt0ne0 10338 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
12 rereccl 10588 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
1311, 12syldan 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
14133adant2 1072 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
15 hmopm 28066 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp)
16153adant3 1073 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp)
17 recgt0 10712 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
18 ltle 9973 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴)))
193, 13, 18sylancr 693 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴)))
2017, 19mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
21203adant2 1072 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
2214, 16, 21jca31 554 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)))
23 leopmuli 28178 . . . . 5 ((((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ (1 / 𝐴) ∧ 0hopop (𝐴 ·op 𝑇))) → 0hopop ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
2423anassrs 677 . . . 4 (((((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·op 𝑇) ∈ HrmOp) ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∧ 0hopop (𝐴 ·op 𝑇)) → 0hopop ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
2522, 24sylan 486 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hopop (𝐴 ·op 𝑇)) → 0hopop ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
26 recn 9878 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2726adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
2827, 11recid2d 10642 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
2928oveq1d 6538 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·op 𝑇) = (1 ·op 𝑇))
30293adant2 1072 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·op 𝑇) = (1 ·op 𝑇))
3127, 11reccld 10639 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
32313adant2 1072 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
33263ad2ant1 1074 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
34 hmopf 27919 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
35343ad2ant2 1075 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
36 homulass 27847 . . . . . 6 (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·op 𝑇) = ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
3732, 33, 35, 36syl3anc 1317 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (((1 / 𝐴) · 𝐴) ·op 𝑇) = ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)))
38 homulid2 27845 . . . . . . 7 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
3934, 38syl 17 . . . . . 6 (𝑇 ∈ HrmOp → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
40393ad2ant2 1075 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)
4130, 37, 403eqtr3d 2647 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)) = 𝑇)
4241adantr 479 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hopop (𝐴 ·op 𝑇)) → ((1 / 𝐴) ·op (𝐴 ·op 𝑇)) = 𝑇)
4325, 42breqtrd 4599 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0hopop (𝐴 ·op 𝑇)) → 0hopop 𝑇)
4410, 43impbida 872 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 0 < 𝐴) → ( 0hopop 𝑇 ↔ 0hopop (𝐴 ·op 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775   class class class wbr 4573  wf 5782  (class class class)co 6523  cc 9786  cr 9787  0cc0 9788  1c1 9789   · cmul 9793   < clt 9926  cle 9927   / cdiv 10529  chil 26962   ·op chot 26982   0hop ch0o 26986  HrmOpcho 26993  op cleo 27001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cc 9113  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868  ax-hilex 27042  ax-hfvadd 27043  ax-hvcom 27044  ax-hvass 27045  ax-hv0cl 27046  ax-hvaddid 27047  ax-hfvmul 27048  ax-hvmulid 27049  ax-hvmulass 27050  ax-hvdistr1 27051  ax-hvdistr2 27052  ax-hvmul0 27053  ax-hfi 27122  ax-his1 27125  ax-his2 27126  ax-his3 27127  ax-his4 27128  ax-hcompl 27245
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-omul 7425  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-acn 8624  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-sum 14207  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-hom 15735  df-cco 15736  df-rest 15848  df-topn 15849  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-topgen 15869  df-pt 15870  df-prds 15873  df-xrs 15927  df-qtop 15932  df-imas 15933  df-xps 15935  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-mulg 17306  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-fbas 19506  df-fg 19507  df-cnfld 19510  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-cld 20571  df-ntr 20572  df-cls 20573  df-nei 20650  df-cn 20779  df-cnp 20780  df-lm 20781  df-haus 20867  df-tx 21113  df-hmeo 21306  df-fil 21398  df-fm 21490  df-flim 21491  df-flf 21492  df-xms 21872  df-ms 21873  df-tms 21874  df-cfil 22775  df-cau 22776  df-cmet 22777  df-grpo 26493  df-gid 26494  df-ginv 26495  df-gdiv 26496  df-ablo 26548  df-vc 26563  df-nv 26611  df-va 26614  df-ba 26615  df-sm 26616  df-0v 26617  df-vs 26618  df-nmcv 26619  df-ims 26620  df-dip 26737  df-ssp 26761  df-ph 26854  df-cbn 26905  df-hnorm 27011  df-hba 27012  df-hvsub 27014  df-hlim 27015  df-hcau 27016  df-sh 27250  df-ch 27264  df-oc 27295  df-ch0 27296  df-shs 27353  df-pjh 27440  df-hosum 27775  df-homul 27776  df-hodif 27777  df-h0op 27793  df-hmop 27889  df-leop 27897
This theorem is referenced by:  opsqrlem6  28190
  Copyright terms: Public domain W3C validator