HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leopnmid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leopnmid 28967
Description: A bounded Hermitian operator is less than or equal to its norm times the identity operator. (Contributed by NM, 11-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leopnmid ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ))

Proof of Theorem leopnmid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopre 28752 . . . . 5 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
21adantlr 750 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
31recnd 10053 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
43abscld 14156 . . . . 5 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
54adantlr 750 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ∈ ℝ)
6 idhmop 28811 . . . . . . 7 Iop ∈ HrmOp
7 hmopm 28850 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ Iop ∈ HrmOp) → ((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
86, 7mpan2 706 . . . . . 6 ((normop𝑇) ∈ ℝ → ((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
9 hmopre 28752 . . . . . 6 ((((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
108, 9sylan 488 . . . . 5 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
1110adantll 749 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
121leabsd 14134 . . . . 5 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
1312adantlr 750 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
14 hmopf 28703 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15 ffvelrn 6343 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
16 normcl 27952 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
1814, 17sylan 488 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
1918adantlr 750 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
20 normcl 27952 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
2120adantl 482 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm𝑥) ∈ ℝ)
2219, 21remulcld 10055 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
2314, 15sylan 488 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
24 bcs 28008 . . . . . . 7 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)))
2523, 24sylancom 700 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)))
2625adantlr 750 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)))
27 remulcl 10006 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ∈ ℝ) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
2820, 27sylan2 491 . . . . . . . 8 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
2928adantll 749 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
30 normge0 27953 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm𝑥))
3120, 30jca 554 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑥)))
3231adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑥)))
33 hmoplin 28771 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
34 elbdop2 28700 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ BndLinOp ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ))
3534biimpri 218 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ BndLinOp)
3633, 35sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ BndLinOp)
37 nmbdoplb 28854 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ BndLinOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑥)))
3836, 37sylan 488 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑥)))
39 lemul1a 10862 . . . . . . 7 ((((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((normop𝑇) · (norm𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑥))) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑥))) → ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑥)) · (norm𝑥)))
4019, 29, 32, 38, 39syl31anc 1327 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑥)) · (norm𝑥)))
41 recn 10011 . . . . . . . . . 10 ((normop𝑇) ∈ ℝ → (normop𝑇) ∈ ℂ)
4241ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normop𝑇) ∈ ℂ)
4321recnd 10053 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm𝑥) ∈ ℂ)
4442, 43, 43mulassd 10048 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑥)) · (norm𝑥)) = ((normop𝑇) · ((norm𝑥) · (norm𝑥))))
45 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
46 ax-his3 27911 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
4742, 45, 45, 46syl3anc 1324 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
4820recnd 10053 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℂ)
4948sqvald 12988 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥)↑2) = ((norm𝑥) · (norm𝑥)))
50 normsq 27961 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥)↑2) = (𝑥 ·ih 𝑥))
5149, 50eqtr3d 2656 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) · (norm𝑥)) = (𝑥 ·ih 𝑥))
5251oveq2d 6651 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · ((norm𝑥) · (norm𝑥))) = ((normop𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
5352adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · ((norm𝑥) · (norm𝑥))) = ((normop𝑇) · (𝑥 ·ih 𝑥)))
5447, 53eqtr4d 2657 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · 𝑥) ·ih 𝑥) = ((normop𝑇) · ((norm𝑥) · (norm𝑥))))
5544, 54eqtr4d 2657 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑥)) · (norm𝑥)) = (((normop𝑇) · 𝑥) ·ih 𝑥))
56 hoif 28583 . . . . . . . . . . 11 Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ
57 f1of 6124 . . . . . . . . . . 11 ( Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ → Iop : ℋ⟶ ℋ)
5856, 57mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → Iop : ℋ⟶ ℋ)
59 homval 28570 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop𝑇) · ( Iop𝑥)))
6042, 58, 45, 59syl3anc 1324 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop𝑇) · ( Iop𝑥)))
61 hoival 28584 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ( Iop𝑥) = 𝑥)
6261oveq2d 6651 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · ( Iop𝑥)) = ((normop𝑇) · 𝑥))
6362adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · ( Iop𝑥)) = ((normop𝑇) · 𝑥))
6460, 63eqtrd 2654 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) = ((normop𝑇) · 𝑥))
6564oveq1d 6650 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((normop𝑇) · 𝑥) ·ih 𝑥))
6655, 65eqtr4d 2657 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑥)) · (norm𝑥)) = ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
6740, 66breqtrd 4670 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑥)) · (norm𝑥)) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
685, 22, 11, 26, 67letrd 10179 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
692, 5, 11, 13, 68letrd 10179 . . 3 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
7069ralrimiva 2963 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥))
71 leop2 28953 . . 3 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ ((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp) → (𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥)))
728, 71sylan2 491 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → (𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((((normop𝑇) ·op Iop )‘𝑥) ·ih 𝑥)))
7370, 72mpbird 247 1 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909   class class class wbr 4644  wf 5872  1-1-ontowf1o 5875  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921   · cmul 9926  cle 10060  2c2 11055  cexp 12843  abscabs 13955  chil 27746   · csm 27748   ·ih csp 27749  normcno 27750   ·op chot 27766   Iop chio 27771  normopcnop 27772  LinOpclo 27774  BndLinOpcbo 27775  HrmOpcho 27777  op cleo 27785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cc 9242  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001  ax-hilex 27826  ax-hfvadd 27827  ax-hvcom 27828  ax-hvass 27829  ax-hv0cl 27830  ax-hvaddid 27831  ax-hfvmul 27832  ax-hvmulid 27833  ax-hvmulass 27834  ax-hvdistr1 27835  ax-hvdistr2 27836  ax-hvmul0 27837  ax-hfi 27906  ax-his1 27909  ax-his2 27910  ax-his3 27911  ax-his4 27912  ax-hcompl 28029
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-omul 7550  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-acn 8753  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-lm 21014  df-t1 21099  df-haus 21100  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-fm 21723  df-flim 21724  df-flf 21725  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-cfil 23034  df-cau 23035  df-cmet 23036  df-grpo 27317  df-gid 27318  df-ginv 27319  df-gdiv 27320  df-ablo 27369  df-vc 27384  df-nv 27417  df-va 27420  df-ba 27421  df-sm 27422  df-0v 27423  df-vs 27424  df-nmcv 27425  df-ims 27426  df-dip 27526  df-ssp 27547  df-ph 27638  df-cbn 27689  df-hnorm 27795  df-hba 27796  df-hvsub 27798  df-hlim 27799  df-hcau 27800  df-sh 28034  df-ch 28048  df-oc 28079  df-ch0 28080  df-shs 28137  df-pjh 28224  df-hosum 28559  df-homul 28560  df-hodif 28561  df-h0op 28577  df-iop 28578  df-nmop 28668  df-lnop 28670  df-bdop 28671  df-hmop 28673  df-leop 28681
This theorem is referenced by:  nmopleid  28968
  Copyright terms: Public domain W3C validator