MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leord1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leord1 11155
Description: Infer an ordering relation from a proof in only one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ltord.1 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
ltord.2 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
ltord.3 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
ltord.4 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐵))
Assertion
Ref Expression
leord1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶𝐷𝑀𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem leord1
StepHypRef Expression
1 ltord.1 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
2 ltord.3 . . . . 5 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
3 ltord.2 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
4 ltord.4 . . . . 5 𝑆 ⊆ ℝ
5 ltord.5 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 ltord.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐵))
71, 2, 3, 4, 5, 6ltord1 11154 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑆𝐶𝑆)) → (𝐷 < 𝐶𝑁 < 𝑀))
87ancom2s 646 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐷 < 𝐶𝑁 < 𝑀))
98notbid 319 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (¬ 𝐷 < 𝐶 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
104sseli 3960 . . . 4 (𝐶𝑆𝐶 ∈ ℝ)
114sseli 3960 . . . 4 (𝐷𝑆𝐷 ∈ ℝ)
12 lenlt 10707 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝐶))
1310, 11, 12syl2an 595 . . 3 ((𝐶𝑆𝐷𝑆) → (𝐶𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝐶))
1413adantl 482 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝐶))
155ralrimiva 3179 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
163eleq1d 2894 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
1716rspccva 3619 . . . . 5 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
1815, 17sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
1918adantrr 713 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑀 ∈ ℝ)
202eleq1d 2894 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
2120rspccva 3619 . . . . 5 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2215, 21sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2322adantrl 712 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2419, 23lenltd 10774 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
259, 14, 243bitr4d 312 1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶𝐷𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wss 3933   class class class wbr 5057  cr 10524   < clt 10663  cle 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669
This theorem is referenced by:  eqord1  11156  leord2  11158  lermxnn0  39425  lermy  39430
  Copyright terms: Public domain W3C validator