MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leord1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leord1 10499
Description: Infer an ordering relation from a proof in only one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ltord.1 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
ltord.2 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
ltord.3 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
ltord.4 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐵))
Assertion
Ref Expression
leord1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶𝐷𝑀𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem leord1
StepHypRef Expression
1 ltord.1 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
2 ltord.3 . . . . 5 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
3 ltord.2 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
4 ltord.4 . . . . 5 𝑆 ⊆ ℝ
5 ltord.5 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 ltord.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐵))
71, 2, 3, 4, 5, 6ltord1 10498 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑆𝐶𝑆)) → (𝐷 < 𝐶𝑁 < 𝑀))
87ancom2s 843 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐷 < 𝐶𝑁 < 𝑀))
98notbid 308 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (¬ 𝐷 < 𝐶 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
104sseli 3579 . . . 4 (𝐶𝑆𝐶 ∈ ℝ)
114sseli 3579 . . . 4 (𝐷𝑆𝐷 ∈ ℝ)
12 lenlt 10060 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝐶))
1310, 11, 12syl2an 494 . . 3 ((𝐶𝑆𝐷𝑆) → (𝐶𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝐶))
1413adantl 482 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝐶))
155ralrimiva 2960 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
163eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
1716rspccva 3294 . . . . 5 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
1815, 17sylan 488 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
1918adantrr 752 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑀 ∈ ℝ)
202eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
2120rspccva 3294 . . . . 5 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2215, 21sylan 488 . . . 4 ((𝜑𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2322adantrl 751 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2419, 23lenltd 10127 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
259, 14, 243bitr4d 300 1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶𝐷𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wss 3555   class class class wbr 4613  cr 9879   < clt 10018  cle 10019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024
This theorem is referenced by:  eqord1  10500  leord2  10502  lermxnn0  36994  lermy  36999
  Copyright terms: Public domain W3C validator