MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leordtval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leordtval2 20768
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
leordtval.2 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
Assertion
Ref Expression
leordtval2 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))

Proof of Theorem leordtval2
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 16996 . . 3 ≤ ∈ TosetRel
2 ledm 16993 . . . 4 * = dom ≤
3 leordtval.1 . . . . 5 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
43leordtvallem1 20766 . . . 4 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑦𝑥})
5 leordtval.2 . . . . 5 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
63, 5leordtvallem2 20767 . . . 4 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
72, 4, 6ordtval 20745 . . 3 ( ≤ ∈ TosetRel → (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)))))
81, 7ax-mp 5 . 2 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))))
9 snex 4830 . . . . 5 {ℝ*} ∈ V
10 xrex 11661 . . . . . . 7 * ∈ V
1110pwex 4769 . . . . . 6 𝒫 ℝ* ∈ V
12 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
13 iocssxr 12084 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(,]+∞) ⊆ ℝ*
1410elpw2 4750 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ* ↔ (𝑥(,]+∞) ⊆ ℝ*)
1513, 14mpbir 219 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ*)
1712, 16fmpti 6276 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)):ℝ*⟶𝒫 ℝ*
18 frn 5952 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)):ℝ*⟶𝒫 ℝ* → ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ⊆ 𝒫 ℝ*)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ⊆ 𝒫 ℝ*
203, 19eqsstri 3597 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ 𝒫 ℝ*
21 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
22 icossxr 12085 . . . . . . . . . . . 12 (-∞[,)𝑥) ⊆ ℝ*
2310elpw2 4750 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞[,)𝑥) ∈ 𝒫 ℝ* ↔ (-∞[,)𝑥) ⊆ ℝ*)
2422, 23mpbir 219 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)𝑥) ∈ 𝒫 ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝑥) ∈ 𝒫 ℝ*)
2621, 25fmpti 6276 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)):ℝ*⟶𝒫 ℝ*
27 frn 5952 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)):ℝ*⟶𝒫 ℝ* → ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ⊆ 𝒫 ℝ*)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ⊆ 𝒫 ℝ*
295, 28eqsstri 3597 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ 𝒫 ℝ*
3020, 29unssi 3749 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ 𝒫 ℝ*
3111, 30ssexi 4726 . . . . 5 (𝐴𝐵) ∈ V
329, 31unex 6831 . . . 4 ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ∈ V
33 ssun2 3738 . . . 4 (𝐴𝐵) ⊆ ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))
34 fiss 8190 . . . 4 ((({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ∈ V ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) → (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))))
3532, 33, 34mp2an 703 . . 3 (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)))
36 fvex 6098 . . . . 5 (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ V
37 ovex 6555 . . . . . . . . . 10 (0(,]+∞) ∈ V
38 ovex 6555 . . . . . . . . . 10 (-∞[,)1) ∈ V
3937, 38unipr 4379 . . . . . . . . 9 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} = ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
40 iocssxr 12084 . . . . . . . . . . 11 (0(,]+∞) ⊆ ℝ*
41 icossxr 12085 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)1) ⊆ ℝ*
4240, 41unssi 3749 . . . . . . . . . 10 ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1)) ⊆ ℝ*
43 mnfxr 11783 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
44 0xr 9942 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
45 pnfxr 11781 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
46 mnflt0 11796 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ < 0
47 0lepnf 11802 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ +∞
48 df-icc 12009 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
49 df-ioc 12007 . . . . . . . . . . . . . . 15 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
50 xrltnle 9956 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ 0))
51 xrletr 11824 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ 0 ∧ 0 ≤ +∞) → 𝑤 ≤ +∞))
52 xrlttr 11808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 < 𝑤) → -∞ < 𝑤))
53 xrltle 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝑤 → -∞ ≤ 𝑤))
54533adant2 1072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝑤 → -∞ ≤ 𝑤))
5552, 54syld 45 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 < 𝑤) → -∞ ≤ 𝑤))
5648, 49, 50, 48, 51, 55ixxun 12018 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 0 ∧ 0 ≤ +∞)) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞))
5746, 47, 56mpanr12 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞))
5843, 44, 45, 57mp3an 1415 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞)
59 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
6059rexri 9948 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ*
61 0lt1 10399 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
62 df-ico 12008 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
63 xrlelttr 11822 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ 0 ∧ 0 < 1) → 𝑤 < 1))
6462, 48, 63ixxss2 12021 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1))
6560, 61, 64mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1)
66 unss1 3743 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞)))
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞))
6858, 67eqsstr3i 3598 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,]+∞) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞))
69 iccmax 12076 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,]+∞) = ℝ*
70 uncom 3718 . . . . . . . . . . 11 ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞)) = ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
7168, 69, 703sstr3i 3605 . . . . . . . . . 10 * ⊆ ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
7242, 71eqssi 3583 . . . . . . . . 9 ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1)) = ℝ*
7339, 72eqtri 2631 . . . . . . . 8 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} = ℝ*
74 fvex 6098 . . . . . . . . 9 (fi‘(𝐴𝐵)) ∈ V
75 ssun1 3737 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
76 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,]+∞) = (0(,]+∞)
77 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 0 → (𝑥(,]+∞) = (0(,]+∞))
7877eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 0 → ((0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞) ↔ (0(,]+∞) = (0(,]+∞)))
7978rspcev 3281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ (0(,]+∞) = (0(,]+∞)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
8044, 76, 79mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞)
81 ovex 6555 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥(,]+∞) ∈ V
8212, 81elrnmpti 5284 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0(,]+∞) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
8380, 82mpbir 219 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,]+∞) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
8483, 3eleqtrri 2686 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]+∞) ∈ 𝐴
8575, 84sselii 3564 . . . . . . . . . . 11 (0(,]+∞) ∈ (𝐴𝐵)
86 ssun2 3738 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
87 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞[,)1) = (-∞[,)1)
88 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 1 → (-∞[,)𝑥) = (-∞[,)1))
8988eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → ((-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞[,)1) = (-∞[,)1)))
9089rspcev 3281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ* ∧ (-∞[,)1) = (-∞[,)1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥))
9160, 87, 90mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥)
92 ovex 6555 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞[,)𝑥) ∈ V
9321, 92elrnmpti 5284 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞[,)1) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥))
9491, 93mpbir 219 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞[,)1) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
9594, 5eleqtrri 2686 . . . . . . . . . . . 12 (-∞[,)1) ∈ 𝐵
9686, 95sselii 3564 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)1) ∈ (𝐴𝐵)
97 prssi 4292 . . . . . . . . . . 11 (((0(,]+∞) ∈ (𝐴𝐵) ∧ (-∞[,)1) ∈ (𝐴𝐵)) → {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (𝐴𝐵))
9885, 96, 97mp2an 703 . . . . . . . . . 10 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (𝐴𝐵)
99 ssfii 8185 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐴𝐵) ⊆ (fi‘(𝐴𝐵)))
10031, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵) ⊆ (fi‘(𝐴𝐵))
10198, 100sstri 3576 . . . . . . . . 9 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (fi‘(𝐴𝐵))
102 eltg3i 20518 . . . . . . . . 9 (((fi‘(𝐴𝐵)) ∈ V ∧ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (fi‘(𝐴𝐵))) → {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
10374, 101, 102mp2an 703 . . . . . . . 8 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
10473, 103eqeltrri 2684 . . . . . . 7 * ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
105 snssi 4279 . . . . . . 7 (ℝ* ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) → {ℝ*} ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
106104, 105ax-mp 5 . . . . . 6 {ℝ*} ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
107 bastg 20523 . . . . . . . 8 ((fi‘(𝐴𝐵)) ∈ V → (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
10874, 107ax-mp 5 . . . . . . 7 (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
109100, 108sstri 3576 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
110106, 109unssi 3749 . . . . 5 ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
111 fiss 8190 . . . . 5 (((topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ V ∧ ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) → (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))))
11236, 110, 111mp2an 703 . . . 4 (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
113 fibas 20534 . . . . 5 (fi‘(𝐴𝐵)) ∈ TopBases
114 tgcl 20526 . . . . 5 ((fi‘(𝐴𝐵)) ∈ TopBases → (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ Top)
115 fitop 20472 . . . . 5 ((topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ Top → (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
116113, 114, 115mp2b 10 . . . 4 (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
117112, 116sseqtri 3599 . . 3 (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
118 2basgen 20547 . . 3 (((fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ∧ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) → (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)))))
11935, 117, 118mp2an 703 . 2 (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))))
1208, 119eqtr4i 2634 1 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896  Vcvv 3172  cun 3537  wss 3539  𝒫 cpw 4107  {csn 4124  {cpr 4126   cuni 4366   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ran crn 5029  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  ficfi 8176  0cc0 9792  1c1 9793  +∞cpnf 9927  -∞cmnf 9928  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  (,]cioc 12003  [,)cico 12004  [,]cicc 12005  topGenctg 15867  ordTopcordt 15928   TosetRel ctsr 16968  Topctop 20459  TopBasesctb 20462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fi 8177  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-topgen 15873  df-ordt 15930  df-ps 16969  df-tsr 16970  df-top 20463  df-bases 20464
This theorem is referenced by:  leordtval  20769  lecldbas  20775
  Copyright terms: Public domain W3C validator