Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leordtval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leordtval2 21064
 Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
leordtval.2 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
Assertion
Ref Expression
leordtval2 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))

Proof of Theorem leordtval2
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 17274 . . 3 ≤ ∈ TosetRel
2 ledm 17271 . . . 4 * = dom ≤
3 leordtval.1 . . . . 5 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
43leordtvallem1 21062 . . . 4 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑦𝑥})
5 leordtval.2 . . . . 5 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
63, 5leordtvallem2 21063 . . . 4 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
72, 4, 6ordtval 21041 . . 3 ( ≤ ∈ TosetRel → (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)))))
81, 7ax-mp 5 . 2 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))))
9 snex 4938 . . . . 5 {ℝ*} ∈ V
10 xrex 11867 . . . . . . 7 * ∈ V
1110pwex 4878 . . . . . 6 𝒫 ℝ* ∈ V
12 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
13 iocssxr 12295 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(,]+∞) ⊆ ℝ*
1410elpw2 4858 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ* ↔ (𝑥(,]+∞) ⊆ ℝ*)
1513, 14mpbir 221 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ*)
1712, 16fmpti 6423 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)):ℝ*⟶𝒫 ℝ*
18 frn 6091 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)):ℝ*⟶𝒫 ℝ* → ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ⊆ 𝒫 ℝ*)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ⊆ 𝒫 ℝ*
203, 19eqsstri 3668 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ 𝒫 ℝ*
21 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
22 icossxr 12296 . . . . . . . . . . . 12 (-∞[,)𝑥) ⊆ ℝ*
2310elpw2 4858 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞[,)𝑥) ∈ 𝒫 ℝ* ↔ (-∞[,)𝑥) ⊆ ℝ*)
2422, 23mpbir 221 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)𝑥) ∈ 𝒫 ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝑥) ∈ 𝒫 ℝ*)
2621, 25fmpti 6423 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)):ℝ*⟶𝒫 ℝ*
27 frn 6091 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)):ℝ*⟶𝒫 ℝ* → ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ⊆ 𝒫 ℝ*)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ⊆ 𝒫 ℝ*
295, 28eqsstri 3668 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ 𝒫 ℝ*
3020, 29unssi 3821 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ 𝒫 ℝ*
3111, 30ssexi 4836 . . . . 5 (𝐴𝐵) ∈ V
329, 31unex 6998 . . . 4 ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ∈ V
33 ssun2 3810 . . . 4 (𝐴𝐵) ⊆ ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))
34 fiss 8371 . . . 4 ((({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ∈ V ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) → (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))))
3532, 33, 34mp2an 708 . . 3 (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)))
36 fvex 6239 . . . . 5 (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ V
37 ovex 6718 . . . . . . . . . 10 (0(,]+∞) ∈ V
38 ovex 6718 . . . . . . . . . 10 (-∞[,)1) ∈ V
3937, 38unipr 4481 . . . . . . . . 9 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} = ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
40 iocssxr 12295 . . . . . . . . . . 11 (0(,]+∞) ⊆ ℝ*
41 icossxr 12296 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)1) ⊆ ℝ*
4240, 41unssi 3821 . . . . . . . . . 10 ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1)) ⊆ ℝ*
43 mnfxr 10134 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
44 0xr 10124 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
45 pnfxr 10130 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
46 mnflt0 11997 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ < 0
47 0lepnf 12004 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ +∞
48 df-icc 12220 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
49 df-ioc 12218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
50 xrltnle 10143 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ 0))
51 xrletr 12027 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ 0 ∧ 0 ≤ +∞) → 𝑤 ≤ +∞))
52 xrlttr 12011 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 < 𝑤) → -∞ < 𝑤))
53 xrltle 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝑤 → -∞ ≤ 𝑤))
54533adant2 1100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝑤 → -∞ ≤ 𝑤))
5552, 54syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 < 𝑤) → -∞ ≤ 𝑤))
5648, 49, 50, 48, 51, 55ixxun 12229 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 0 ∧ 0 ≤ +∞)) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞))
5746, 47, 56mpanr12 721 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞))
5843, 44, 45, 57mp3an 1464 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞)
59 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
6059rexri 10135 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ*
61 0lt1 10588 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
62 df-ico 12219 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
63 xrlelttr 12025 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ 0 ∧ 0 < 1) → 𝑤 < 1))
6462, 48, 63ixxss2 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1))
6560, 61, 64mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1)
66 unss1 3815 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞)))
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞))
6858, 67eqsstr3i 3669 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,]+∞) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞))
69 iccmax 12287 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,]+∞) = ℝ*
70 uncom 3790 . . . . . . . . . . 11 ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞)) = ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
7168, 69, 703sstr3i 3676 . . . . . . . . . 10 * ⊆ ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
7242, 71eqssi 3652 . . . . . . . . 9 ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1)) = ℝ*
7339, 72eqtri 2673 . . . . . . . 8 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} = ℝ*
74 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (fi‘(𝐴𝐵)) ∈ V
75 ssun1 3809 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
76 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,]+∞) = (0(,]+∞)
77 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 0 → (𝑥(,]+∞) = (0(,]+∞))
7877eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 0 → ((0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞) ↔ (0(,]+∞) = (0(,]+∞)))
7978rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ (0(,]+∞) = (0(,]+∞)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
8044, 76, 79mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞)
81 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥(,]+∞) ∈ V
8212, 81elrnmpti 5408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0(,]+∞) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
8380, 82mpbir 221 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,]+∞) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
8483, 3eleqtrri 2729 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]+∞) ∈ 𝐴
8575, 84sselii 3633 . . . . . . . . . . 11 (0(,]+∞) ∈ (𝐴𝐵)
86 ssun2 3810 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
87 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞[,)1) = (-∞[,)1)
88 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 1 → (-∞[,)𝑥) = (-∞[,)1))
8988eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → ((-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞[,)1) = (-∞[,)1)))
9089rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ* ∧ (-∞[,)1) = (-∞[,)1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥))
9160, 87, 90mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥)
92 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞[,)𝑥) ∈ V
9321, 92elrnmpti 5408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞[,)1) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥))
9491, 93mpbir 221 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞[,)1) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
9594, 5eleqtrri 2729 . . . . . . . . . . . 12 (-∞[,)1) ∈ 𝐵
9686, 95sselii 3633 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)1) ∈ (𝐴𝐵)
97 prssi 4385 . . . . . . . . . . 11 (((0(,]+∞) ∈ (𝐴𝐵) ∧ (-∞[,)1) ∈ (𝐴𝐵)) → {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (𝐴𝐵))
9885, 96, 97mp2an 708 . . . . . . . . . 10 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (𝐴𝐵)
99 ssfii 8366 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐴𝐵) ⊆ (fi‘(𝐴𝐵)))
10031, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵) ⊆ (fi‘(𝐴𝐵))
10198, 100sstri 3645 . . . . . . . . 9 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (fi‘(𝐴𝐵))
102 eltg3i 20813 . . . . . . . . 9 (((fi‘(𝐴𝐵)) ∈ V ∧ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (fi‘(𝐴𝐵))) → {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
10374, 101, 102mp2an 708 . . . . . . . 8 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
10473, 103eqeltrri 2727 . . . . . . 7 * ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
105 snssi 4371 . . . . . . 7 (ℝ* ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) → {ℝ*} ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
106104, 105ax-mp 5 . . . . . 6 {ℝ*} ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
107 bastg 20818 . . . . . . . 8 ((fi‘(𝐴𝐵)) ∈ V → (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
10874, 107ax-mp 5 . . . . . . 7 (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
109100, 108sstri 3645 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
110106, 109unssi 3821 . . . . 5 ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
111 fiss 8371 . . . . 5 (((topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ V ∧ ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) → (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))))
11236, 110, 111mp2an 708 . . . 4 (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
113 fibas 20829 . . . . 5 (fi‘(𝐴𝐵)) ∈ TopBases
114 tgcl 20821 . . . . 5 ((fi‘(𝐴𝐵)) ∈ TopBases → (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ Top)
115 fitop 20753 . . . . 5 ((topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ Top → (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
116113, 114, 115mp2b 10 . . . 4 (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
117112, 116sseqtri 3670 . . 3 (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
118 2basgen 20842 . . 3 (((fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ∧ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) → (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)))))
11935, 117, 118mp2an 708 . 2 (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))))
1208, 119eqtr4i 2676 1 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942  Vcvv 3231   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  {cpr 4212  ∪ cuni 4468   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ran crn 5144  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ficfi 8357  0cc0 9974  1c1 9975  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  (,]cioc 12214  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  topGenctg 16145  ordTopcordt 16206   TosetRel ctsr 17246  Topctop 20746  TopBasesctb 20797 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-topgen 16151  df-ordt 16208  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-top 20747  df-bases 20798 This theorem is referenced by:  leordtval  21065  lecldbas  21071
 Copyright terms: Public domain W3C validator