MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leordtvallem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leordtvallem2 20925
Description: Lemma for leordtval 20927. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
leordtval.2 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
Assertion
Ref Expression
leordtvallem2 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem leordtvallem2
StepHypRef Expression
1 leordtval.2 . 2 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
2 icossxr 12200 . . . . . 6 (-∞[,)𝑥) ⊆ ℝ*
3 sseqin2 3795 . . . . . 6 ((-∞[,)𝑥) ⊆ ℝ* ↔ (ℝ* ∩ (-∞[,)𝑥)) = (-∞[,)𝑥))
42, 3mpbi 220 . . . . 5 (ℝ* ∩ (-∞[,)𝑥)) = (-∞[,)𝑥)
5 mnfxr 10040 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
6 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
7 elico1 12160 . . . . . . . 8 ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
85, 6, 7sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
9 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10 mnfle 11913 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑦)
119, 10jccir 561 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦))
1211biantrurd 529 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥)))
13 df-3an 1038 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥))
1412, 13syl6bbr 278 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
15 xrltnle 10049 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
1615ancoms 469 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
178, 14, 163bitr2d 296 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ ¬ 𝑥𝑦))
1817rabbi2dva 3799 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (ℝ* ∩ (-∞[,)𝑥)) = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
194, 18syl5eqr 2669 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝑥) = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
2019mpteq2ia 4700 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
2120rneqi 5312 . 2 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
221, 21eqtri 2643 1 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  cin 3554  wss 3555   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ran crn 5075  (class class class)co 6604  +∞cpnf 10015  -∞cmnf 10016  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  (,]cioc 12118  [,)cico 12119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-ico 12123
This theorem is referenced by:  leordtval2  20926  leordtval  20927
  Copyright terms: Public domain W3C validator