Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lermy Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lermy 36323
Description: Y is monotonic (non-strict). (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
lermy ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))

Proof of Theorem lermy
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6534 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
2 oveq2 6534 . . 3 (𝑎 = 𝑀 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑀))
3 oveq2 6534 . . 3 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
4 zssre 11219 . . 3 ℤ ⊆ ℝ
5 frmy 36280 . . . . 5 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
65fovcl 6640 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑎) ∈ ℤ)
76zred 11316 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑎) ∈ ℝ)
8 ltrmy 36320 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 < 𝑏 ↔ (𝐴 Yrm 𝑎) < (𝐴 Yrm 𝑏)))
98biimpd 217 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) < (𝐴 Yrm 𝑏)))
1093expb 1257 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) < (𝐴 Yrm 𝑏)))
111, 2, 3, 4, 7, 10leord1 10406 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
12113impb 1251 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5789  (class class class)co 6526   < clt 9930  cle 9931  2c2 10919  cz 11212  cuz 11521   Yrm crmy 36266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-acn 8628  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-q 11623  df-rp 11667  df-xneg 11780  df-xadd 11781  df-xmul 11782  df-ioo 12008  df-ioc 12009  df-ico 12010  df-icc 12011  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-fl 12412  df-mod 12488  df-seq 12621  df-exp 12680  df-fac 12880  df-bc 12909  df-hash 12937  df-shft 13603  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-limsup 13998  df-clim 14015  df-rlim 14016  df-sum 14213  df-ef 14585  df-sin 14587  df-cos 14588  df-pi 14590  df-dvds 14770  df-gcd 15003  df-numer 15229  df-denom 15230  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-starv 15731  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-ip 15734  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-unif 15740  df-hom 15741  df-cco 15742  df-rest 15854  df-topn 15855  df-0g 15873  df-gsum 15874  df-topgen 15875  df-pt 15876  df-prds 15879  df-xrs 15933  df-qtop 15938  df-imas 15939  df-xps 15941  df-mre 16017  df-mrc 16018  df-acs 16020  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-submnd 17107  df-mulg 17312  df-cntz 17521  df-cmn 17966  df-psmet 19507  df-xmet 19508  df-met 19509  df-bl 19510  df-mopn 19511  df-fbas 19512  df-fg 19513  df-cnfld 19516  df-top 20468  df-bases 20469  df-topon 20470  df-topsp 20471  df-cld 20580  df-ntr 20581  df-cls 20582  df-nei 20659  df-lp 20697  df-perf 20698  df-cn 20788  df-cnp 20789  df-haus 20876  df-tx 21122  df-hmeo 21315  df-fil 21407  df-fm 21499  df-flim 21500  df-flf 21501  df-xms 21882  df-ms 21883  df-tms 21884  df-cncf 22436  df-limc 23380  df-dv 23381  df-log 24051  df-squarenn 36206  df-pell1qr 36207  df-pell14qr 36208  df-pell1234qr 36209  df-pellfund 36210  df-rmx 36267  df-rmy 36268
This theorem is referenced by:  jm2.17a  36328  jm2.24  36331  jm2.26lem3  36369  jm2.27a  36373  jm2.27c  36375
  Copyright terms: Public domain W3C validator