MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lesubaddd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lesubaddd 10816
Description: 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
lesubaddd (𝜑 → ((𝐴𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem lesubaddd
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltadd1d.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 lesubadd 10692 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1477 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  cr 10127   + caddc 10131  cle 10267  cmin 10458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461
This theorem is referenced by:  elfzomelpfzo  12766  modaddmodup  12927  sqrlem7  14188  absrdbnd  14280  caucvgrlem  14602  cvgcmp  14747  oddge22np1  15275  ramub1lem1  15932  chfacfisf  20861  chfacfisfcpmat  20862  uniioombllem4  23554  mbfi1fseqlem6  23686  dvfsumlem1  23988  abelthlem2  24385  argimgt0  24557  harmonicbnd4  24936  ppiub  25128  logfaclbnd  25146  logfacbnd3  25147  bcmax  25202  lgseisen  25303  log2sumbnd  25432  chpdifbndlem1  25441  pntpbnd2  25475  pntibndlem2  25479  pntlemo  25495  crctcshwlkn0lem5  26917  clwlkclwwlklem2  27123  clwlkclwwlk2  27126  nvabs  27836  dnibndlem4  32777  dnibndlem10  32783  itg2addnclem2  33775  itg2addnclem3  33776  fzmaxdif  38050  int-ineqmvtd  38996  binomcxplemnotnn0  39057  xrralrecnnge  40111  limsupgtlem  40512  fourierdlem26  40853  hoidmv1lelem1  41311  leaddsuble  41821  fmtnoge3  41952  fmtnoprmfac2lem1  41988  bgoldbtbndlem2  42204  nnolog2flm1  42894
  Copyright terms: Public domain W3C validator