MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lesubaddd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lesubaddd 10569
Description: 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
lesubaddd (𝜑 → ((𝐴𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem lesubaddd
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltadd1d.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 lesubadd 10445 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1323 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 1992   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  cr 9880   + caddc 9884  cle 10020  cmin 10211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214
This theorem is referenced by:  elfzomelpfzo  12510  modaddmodup  12670  sqrlem7  13918  absrdbnd  14010  caucvgrlem  14332  cvgcmp  14470  oddge22np1  14992  ramub1lem1  15649  chfacfisf  20573  chfacfisfcpmat  20574  uniioombllem4  23255  mbfi1fseqlem6  23388  dvfsumlem1  23688  abelthlem2  24085  argimgt0  24257  harmonicbnd4  24632  ppiub  24824  logfaclbnd  24842  logfacbnd3  24843  bcmax  24898  lgseisen  24999  log2sumbnd  25128  chpdifbndlem1  25137  pntpbnd2  25171  pntibndlem2  25175  pntlemo  25191  crctcshwlkn0lem5  26569  clwlkclwwlklem2  26762  clwlkclwwlk2  26765  nvabs  27367  dnibndlem4  32086  dnibndlem10  32092  itg2addnclem2  33061  itg2addnclem3  33062  fzmaxdif  36995  int-ineqmvtd  37943  binomcxplemnotnn0  38004  xrralrecnnge  39045  fourierdlem26  39625  hoidmv1lelem1  40080  leaddsuble  40577  fmtnoge3  40710  fmtnoprmfac2lem1  40746  bgoldbtbndlem2  40952  nnolog2flm1  41631
  Copyright terms: Public domain W3C validator