MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem letr 9982
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
letr ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))

Proof of Theorem letr
StepHypRef Expression
1 leloe 9975 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
213adant1 1071 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
32adantr 479 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶)))
4 lelttr 9979 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5 ltle 9977 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
653adant2 1072 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
74, 6syld 45 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴𝐶))
87expdimp 451 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 < 𝐶𝐴𝐶))
9 breq2 4581 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴𝐵𝐴𝐶))
109biimpcd 237 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (𝐵 = 𝐶𝐴𝐶))
1110adantl 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 = 𝐶𝐴𝐶))
128, 11jaod 393 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶) → 𝐴𝐶))
133, 12sylbid 228 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐶𝐴𝐶))
1413expimpd 626 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  cr 9791   < clt 9930  cle 9931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936
This theorem is referenced by:  letri  10017  letrd  10045  le2add  10361  le2sub  10378  p1le  10717  lemul12b  10731  lemul12a  10732  zletr  11256  peano2uz2  11299  ledivge1le  11735  lemaxle  11861  elfz1b  12236  elfz0fzfz0  12270  fz0fzelfz0  12271  fz0fzdiffz0  12274  elfzmlbp  12276  difelfznle  12279  elincfzoext  12350  ssfzoulel  12385  ssfzo12bi  12386  flge  12425  flflp1  12427  fldiv4p1lem1div2  12455  fldiv4lem1div2uz2  12456  monoord  12650  leexp2r  12737  expubnd  12740  le2sq2  12758  facwordi  12895  faclbnd3  12898  facavg  12907  fi1uzind  13082  fi1uzindOLD  13088  swrdswrdlem  13259  swrdccat  13292  sqrlem1  13779  sqrlem6  13784  sqrlem7  13785  leabs  13835  limsupbnd2  14010  rlim3  14025  lo1bdd2  14051  lo1bddrp  14052  o1lo1  14064  lo1mul  14154  lo1le  14178  isercolllem2  14192  iseraltlem2  14209  fsumabs  14322  cvgrat  14402  ruclem9  14754  algcvga  15078  prmdvdsfz  15203  prmfac1  15217  eulerthlem2  15273  modprm0  15296  prmreclem1  15406  prmreclem4  15409  4sqlem11  15445  vdwnnlem3  15487  gsumbagdiaglem  19144  zntoslem  19671  cnllycmp  22510  evth  22513  ovoliunlem2  23022  ovolicc2lem3  23038  itg2monolem1  23267  coeaddlem  23753  coemullem  23754  aalioulem5  23839  aalioulem6  23840  sincosq1lem  23997  emcllem6  24471  ftalem3  24545  fsumvma2  24683  chpchtsum  24688  bcmono  24746  bposlem5  24757  gausslemma2dlem1a  24834  lgsquadlem1  24849  dchrisum0lem1  24949  pntrsumbnd2  25000  pntleml  25044  brbtwn2  25530  axlowdimlem17  25583  axlowdim  25586  wwlksubclwwlk  26125  clwlkfclwwlk  26164  eupath2  26300  nmoub3i  26805  ubthlem1  26903  ubthlem2  26904  nmopub2tALT  27945  nmfnleub2  27962  lnconi  28069  leoptr  28173  pjnmopi  28184  cdj3lem2b  28473  eulerpartlemb  29550  isbasisrelowllem1  32162  isbasisrelowllem2  32163  ltflcei  32350  itg2addnclem2  32415  itg2addnclem3  32416  itg2addnc  32417  bddiblnc  32433  dvasin  32449  incsequz  32497  mettrifi  32506  equivbnd  32542  bfplem1  32574  jm2.17b  36329  fmul01lt1lem2  38435  iccpartiltu  39744  iccpartgt  39749  lighneallem2  39845  eluzge0nn0  40156  elfz2z  40158  crctcsh1wlkn0lem3  40996  crctcsh1wlkn0lem5  40998  wwlksubclwwlks  41213  clwlksfclwwlk  41250  eupth2lems  41387
  Copyright terms: Public domain W3C validator