Theorem letri3d 10784

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 10728	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ℝcr 10538   ≤ cle 10678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683

This theorem is referenced by:  add20  11154  eqord1  11170  msq11  11543  supadd  11611  supmul  11615  suprzcl  12065  uzwo3  12346  flid  13181  flval3  13188  gcd0id  15869  gcdneg  15872  bezoutlem4  15892  gcdzeq  15904  lcmneg  15949  coprmgcdb  15995  qredeq  16003  pcidlem  16210  pcgcd1  16215  4sqlem17  16299  0ram  16358  ram0  16360  mndodconglem  18671  sylow1lem5  18729  zntoslem  20705  cnmpopc  23534  ovolsca  24118  ismbl2  24130  voliunlem2  24154  dyadmaxlem  24200  mbfi1fseqlem4  24321  itg2cnlem1  24364  ditgneg  24457  rolle  24589  dvivthlem1  24607  plyeq0lem  24802  dgreq  24836  coemulhi  24846  dgradd2  24860  dgrmul  24862  plydiveu  24889  vieta1lem2  24902  pilem3  25043  zabsle1  25874  2sqmod  26014  ostth2  26215  brbtwn2  26693  axcontlem8  26759  nmophmi  29810  leoptri  29915  fzto1st1  30746  ballotlemfc0  31752  ballotlemfcc  31753  0nn0m1nnn0  32353  poimirlem23  34917  rmspecfund  39513  ubelsupr  41284  lefldiveq  41566  wallispilem3  42359  fourierdlem6  42405  fourierdlem42  42441  fourierdlem50  42448  fourierdlem52  42450  fourierdlem54  42452  fourierdlem79  42477  fourierdlem102  42500  fourierdlem114  42512  2ffzoeq  43535  lighneallem2  43778