MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letri3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem letri3d 10030
Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
letri3d (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem letri3d
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 letri3 9974 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
41, 2, 3syl2anc 690 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  cr 9791  cle 9931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936
This theorem is referenced by:  add20  10389  eqord1  10405  msq11  10773  supadd  10838  supmul  10842  suprzcl  11289  uzwo3  11615  flid  12426  flval3  12433  gcd0id  15024  gcdneg  15027  bezoutlem4  15043  gcdzeq  15055  lcmneg  15100  coprmgcdb  15146  qredeq  15155  pcidlem  15360  pcgcd1  15365  4sqlem17  15449  0ram  15508  ram0  15510  mndodconglem  17729  sylow1lem5  17786  zntoslem  19669  cnmpt2pc  22466  ovolsca  23007  ismbl2  23019  voliunlem2  23043  dyadmaxlem  23088  mbfi1fseqlem4  23208  itg2cnlem1  23251  ditgneg  23344  rolle  23474  dvivthlem1  23492  plyeq0lem  23687  dgreq  23721  coemulhi  23731  dgradd2  23745  dgrmul  23747  plydiveu  23774  vieta1lem2  23787  pilem3  23928  zabsle1  24738  ostth2  25043  brbtwn2  25503  axcontlem8  25569  nmophmi  28080  leoptri  28185  2sqmod  28785  fzto1st1  28989  ballotlemfc0  29687  ballotlemfcc  29688  poimirlem23  32405  rmspecfund  36295  ubelsupr  38005  lefldiveq  38249  wallispilem3  38764  fourierdlem6  38810  fourierdlem42  38846  fourierdlem50  38853  fourierdlem52  38855  fourierdlem54  38857  fourierdlem79  38882  fourierdlem102  38905  fourierdlem114  38917  lighneallem2  39866  2ffzoeq  40188
  Copyright terms: Public domain W3C validator