Theorem letric 10742

Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
letric	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem letric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnle 10722	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
2		ltle 10731	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴))
3	1, 2	sylbird 262	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐵 ≤ 𝐴))
4	3	orrd 859	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
5	4	ancoms 461	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ℝcr 10538   < clt 10677   ≤ cle 10678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-pre-lttri 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683

This theorem is referenced by:  lecasei  10748  letrid  10794  relin01  11166  avgle  11882  elz2  12002  uztric  12269  xrsupsslem  12703  xrinfmsslem  12704  sqrlem6  14609  resqrex  14612  absor  14662  fzomaxdif  14705  xrsdsreval  20592  elii2  23542  xrhmeo  23552  pcoass  23630  pilem2  25042  pntpbnd1  26164  axcontlem2  26753  icoreclin  34640  poimir  34927  oddcomabszz  39548  zindbi  39550