MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letric Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem letric 10122
Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
letric ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem letric
StepHypRef Expression
1 ltnle 10102 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
2 ltle 10111 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴𝐵𝐴))
31, 2sylbird 250 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
43orrd 393 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
54ancoms 469 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384  wcel 1988   class class class wbr 4644  cr 9920   < clt 10059  cle 10060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-pre-lttri 9995
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065
This theorem is referenced by:  lecasei  10128  letrid  10174  relin01  10537  avgle  11259  elz2  11379  uztric  11694  xrsupsslem  12122  xrinfmsslem  12123  sqrlem6  13969  resqrex  13972  absor  14021  fzomaxdif  14064  xrsdsreval  19772  elii2  22716  xrhmeo  22726  pcoass  22805  pilem2  24187  pntpbnd1  25256  axcontlem2  25826  icoreclin  33176  poimir  33413  oddcomabszz  37328  zindbi  37330
  Copyright terms: Public domain W3C validator