Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfgrnloop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfgrnloop 40352
Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lfuhgrnloopv.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgrnloopv.a 𝐴 = dom 𝐼
lfuhgrnloopv.e 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}
Assertion
Ref Expression
lfgrnloop (𝐼:𝐴𝐸 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrnloop
StepHypRef Expression
1 nfcv 2750 . . . 4 𝑥𝐼
2 nfcv 2750 . . . 4 𝑥𝐴
3 lfuhgrnloopv.e . . . . 5 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}
4 nfrab1 3098 . . . . 5 𝑥{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}
53, 4nfcxfr 2748 . . . 4 𝑥𝐸
61, 2, 5nff 5940 . . 3 𝑥 𝐼:𝐴𝐸
7 hashsn01 13017 . . . . . . 7 ((#‘{𝑈}) = 0 ∨ (#‘{𝑈}) = 1)
8 2pos 10959 . . . . . . . . . 10 0 < 2
9 0re 9896 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
10 2re 10937 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
119, 10ltnlei 10009 . . . . . . . . . 10 (0 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 0)
128, 11mpbi 218 . . . . . . . . 9 ¬ 2 ≤ 0
13 breq2 4581 . . . . . . . . 9 ((#‘{𝑈}) = 0 → (2 ≤ (#‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 0))
1412, 13mtbiri 315 . . . . . . . 8 ((#‘{𝑈}) = 0 → ¬ 2 ≤ (#‘{𝑈}))
15 1lt2 11041 . . . . . . . . . 10 1 < 2
16 1re 9895 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
1716, 10ltnlei 10009 . . . . . . . . . 10 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
1815, 17mpbi 218 . . . . . . . . 9 ¬ 2 ≤ 1
19 breq2 4581 . . . . . . . . 9 ((#‘{𝑈}) = 1 → (2 ≤ (#‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 1))
2018, 19mtbiri 315 . . . . . . . 8 ((#‘{𝑈}) = 1 → ¬ 2 ≤ (#‘{𝑈}))
2114, 20jaoi 392 . . . . . . 7 (((#‘{𝑈}) = 0 ∨ (#‘{𝑈}) = 1) → ¬ 2 ≤ (#‘{𝑈}))
227, 21ax-mp 5 . . . . . 6 ¬ 2 ≤ (#‘{𝑈})
23 fveq2 6088 . . . . . . 7 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → (#‘(𝐼𝑥)) = (#‘{𝑈}))
2423breq2d 4589 . . . . . 6 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → (2 ≤ (#‘(𝐼𝑥)) ↔ 2 ≤ (#‘{𝑈})))
2522, 24mtbiri 315 . . . . 5 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → ¬ 2 ≤ (#‘(𝐼𝑥)))
26 lfuhgrnloopv.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
27 lfuhgrnloopv.a . . . . . 6 𝐴 = dom 𝐼
2826, 27, 3lfgredgge2 40351 . . . . 5 ((𝐼:𝐴𝐸𝑥𝐴) → 2 ≤ (#‘(𝐼𝑥)))
2925, 28nsyl3 131 . . . 4 ((𝐼:𝐴𝐸𝑥𝐴) → ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
3029ex 448 . . 3 (𝐼:𝐴𝐸 → (𝑥𝐴 → ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈}))
316, 30ralrimi 2939 . 2 (𝐼:𝐴𝐸 → ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
32 rabeq0 3910 . 2 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
3331, 32sylibr 222 1 (𝐼:𝐴𝐸 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  {crab 2899  c0 3873  𝒫 cpw 4107  {csn 4124   class class class wbr 4577  dom cdm 5028  wf 5786  cfv 5790  0cc0 9792  1c1 9793   < clt 9930  cle 9931  2c2 10917  #chash 12934  iEdgciedg 40232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-hash 12935
This theorem is referenced by:  vtxdlfgrval  40702
  Copyright terms: Public domain W3C validator