Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfgrwlknloop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfgrwlknloop 26489
 Description: In a loop-free graph, each walk has no loops! (Contributed by AV, 2-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lfgrwlkprop.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfgriswlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lfgrwlknloop ((𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼,𝑥   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrwlknloop
StepHypRef Expression
1 wlkv 26412 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2 lfgrwlkprop.i . . . . . . . 8 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 lfgriswlk.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
42, 3lfgriswlk 26488 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
5 simpl 473 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
65ralimi 2948 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
763ad2ant3 1082 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
84, 7syl6bi 243 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
98ex 450 . . . . 5 (𝐺 ∈ V → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
109com23 86 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
11103ad2ant1 1080 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
121, 11mpcom 38 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
1312impcom 446 1 ((𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2908  {crab 2912  Vcvv 3190   ⊆ wss 3560  𝒫 cpw 4136  {cpr 4157   class class class wbr 4623  dom cdm 5084  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   ≤ cle 10035  2c2 11030  ...cfz 12284  ..^cfzo 12422  #chash 13073  Word cword 13246  Vtxcvtx 25808  iEdgciedg 25809  Walkscwlks 26396 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-hash 13074  df-word 13254  df-wlks 26399 This theorem is referenced by:  lfgrn1cycl  26600
 Copyright terms: Public domain W3C validator