Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0sc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl0sc 33884
Description: The (right vector space) scalar product of a functional with zero is the zero functional. Note that the first occurrence of (𝑉 × { 0 }) represents the zero scalar, and the second is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0sc.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl0sc.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0sc.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl0sc.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl0sc.t · = (.r𝐷)
lfl0sc.o 0 = (0g𝐷)
lfl0sc.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lfl0sc.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfl0sc (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))

Proof of Theorem lfl0sc
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfl0sc.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 fvex 6163 . . . 4 (Base‘𝑊) ∈ V
31, 2eqeltri 2694 . . 3 𝑉 ∈ V
43a1i 11 . 2 (𝜑𝑉 ∈ V)
5 lfl0sc.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 lfl0sc.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
7 lfl0sc.d . . . 4 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
8 lfl0sc.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐷)
9 lfl0sc.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
107, 8, 1, 9lflf 33865 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
115, 6, 10syl2anc 692 . 2 (𝜑𝐺:𝑉𝐾)
127lmodring 18803 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
135, 12syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Ring)
14 lfl0sc.o . . . 4 0 = (0g𝐷)
158, 14ring0cl 18501 . . 3 (𝐷 ∈ Ring → 0𝐾)
1613, 15syl 17 . 2 (𝜑0𝐾)
17 lfl0sc.t . . . 4 · = (.r𝐷)
188, 17, 14ringrz 18520 . . 3 ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑘𝐾) → (𝑘 · 0 ) = 0 )
1913, 18sylan 488 . 2 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝑘 · 0 ) = 0 )
204, 11, 16, 16, 19caofid1 6887 1 (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  {csn 4153   × cxp 5077  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑓 cof 6855  Basecbs 15792  .rcmulr 15874  Scalarcsca 15876  0gc0g 16032  Ringcrg 18479  LModclmod 18795  LFnlclfn 33859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-plusg 15886  df-0g 16034  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-mgp 18422  df-ring 18481  df-lmod 18797  df-lfl 33860
This theorem is referenced by:  lkrscss  33900  lfl1dim  33923  lfl1dim2N  33924
  Copyright terms: Public domain W3C validator