Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl1 33834
Description: A nonzero functional has a value of 1 at some argument. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1.o 0 = (0g𝐷)
lfl1.u 1 = (1r𝐷)
lfl1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lfl1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑥𝑉 (𝐺𝑥) = 1 )
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥, 1   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem lfl1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nne 2794 . . . . . . 7 (¬ (𝐺𝑧) ≠ 0 ↔ (𝐺𝑧) = 0 )
21ralbii 2974 . . . . . 6 (∀𝑧𝑉 ¬ (𝐺𝑧) ≠ 0 ↔ ∀𝑧𝑉 (𝐺𝑧) = 0 )
3 lfl1.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5 lfl1.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 lfl1.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
73, 4, 5, 6lflf 33827 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
8 ffn 6002 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷) → 𝐺 Fn 𝑉)
97, 8syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
10 fconstfv 6430 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝐺𝑧) = 0 ))
1110simplbi2 654 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 𝑉 → (∀𝑧𝑉 (𝐺𝑧) = 0𝐺:𝑉⟶{ 0 }))
129, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → (∀𝑧𝑉 (𝐺𝑧) = 0𝐺:𝑉⟶{ 0 }))
13 lfl1.o . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐷)
14 fvex 6158 . . . . . . . . 9 (0g𝐷) ∈ V
1513, 14eqeltri 2694 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1615fconst2 6424 . . . . . . 7 (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
1712, 16syl6ib 241 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → (∀𝑧𝑉 (𝐺𝑧) = 0𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
182, 17syl5bi 232 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → (∀𝑧𝑉 ¬ (𝐺𝑧) ≠ 0𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
1918necon3ad 2803 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }) → ¬ ∀𝑧𝑉 ¬ (𝐺𝑧) ≠ 0 ))
20 dfrex2 2990 . . . 4 (∃𝑧𝑉 (𝐺𝑧) ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑧𝑉 ¬ (𝐺𝑧) ≠ 0 )
2119, 20syl6ibr 242 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }) → ∃𝑧𝑉 (𝐺𝑧) ≠ 0 ))
22213impia 1258 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑧𝑉 (𝐺𝑧) ≠ 0 )
23 simp1l 1083 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
24 lveclmod 19025 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
263lvecdrng 19024 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
2723, 26syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → 𝐷 ∈ DivRing)
28 simp1r 1084 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → 𝐺𝐹)
29 simp2 1060 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → 𝑧𝑉)
303, 4, 5, 6lflcl 33828 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑧𝑉) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝐷))
3123, 28, 29, 30syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝐷))
32 simp3 1061 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺𝑧) ≠ 0 )
33 eqid 2621 . . . . . . . 8 (invr𝐷) = (invr𝐷)
344, 13, 33drnginvrcl 18685 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → ((invr𝐷)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝐷))
3527, 31, 32, 34syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → ((invr𝐷)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝐷))
36 eqid 2621 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
375, 3, 36, 4lmodvscl 18801 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr𝐷)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑧𝑉) → (((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
3825, 35, 29, 37syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
39 eqid 2621 . . . . . . . 8 (.r𝐷) = (.r𝐷)
403, 4, 39, 5, 36, 6lflmul 33832 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (((invr𝐷)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑧𝑉)) → (𝐺‘(((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))(.r𝐷)(𝐺𝑧)))
4125, 28, 35, 29, 40syl112anc 1327 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘(((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))(.r𝐷)(𝐺𝑧)))
42 lfl1.u . . . . . . . 8 1 = (1r𝐷)
434, 13, 39, 42, 33drnginvrl 18687 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))(.r𝐷)(𝐺𝑧)) = 1 )
4427, 31, 32, 43syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))(.r𝐷)(𝐺𝑧)) = 1 )
4541, 44eqtrd 2655 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘(((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧)) = 1 )
46 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑥 = (((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧)))
4746eqeq1d 2623 . . . . . 6 (𝑥 = (((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧) → ((𝐺𝑥) = 1 ↔ (𝐺‘(((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧)) = 1 ))
4847rspcev 3295 . . . . 5 (((((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧)) = 1 ) → ∃𝑥𝑉 (𝐺𝑥) = 1 )
4938, 45, 48syl2anc 692 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → ∃𝑥𝑉 (𝐺𝑥) = 1 )
5049rexlimdv3a 3026 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → (∃𝑧𝑉 (𝐺𝑧) ≠ 0 → ∃𝑥𝑉 (𝐺𝑥) = 1 ))
51503adant3 1079 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (∃𝑧𝑉 (𝐺𝑧) ≠ 0 → ∃𝑥𝑉 (𝐺𝑥) = 1 ))
5222, 51mpd 15 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑥𝑉 (𝐺𝑥) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  {csn 4148   × cxp 5072   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  .rcmulr 15863  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  0gc0g 16021  1rcur 18422  invrcinvr 18592  DivRingcdr 18668  LModclmod 18784  LVecclvec 19021  LFnlclfn 33821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lvec 19022  df-lfl 33822
This theorem is referenced by:  eqlkr  33863  lkrshp  33869
  Copyright terms: Public domain W3C validator