Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflmul 33835
Description: Property of a linear functional. (lnfnmuli 28752 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflmul.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflmul.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflmul.t × = (.r𝐷)
lflmul.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflmul.s · = ( ·𝑠𝑊)
lflmul.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lflmul ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 × (𝐺𝑋)))

Proof of Theorem lflmul
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2 simp2 1060 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → 𝐺𝐹)
3 simp3l 1087 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → 𝑅𝐾)
4 simp3r 1088 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → 𝑋𝑉)
5 lflmul.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 eqid 2621 . . . . 5 (0g𝑊) = (0g𝑊)
75, 6lmod0vcl 18813 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
873ad2ant1 1080 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
9 eqid 2621 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
10 lflmul.d . . . 4 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11 lflmul.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
12 lflmul.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐷)
13 eqid 2621 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
14 lflmul.t . . . 4 × = (.r𝐷)
15 lflmul.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
165, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15lfli 33828 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉 ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(𝐺‘(0g𝑊))))
171, 2, 3, 4, 8, 16syl113anc 1335 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(𝐺‘(0g𝑊))))
185, 10, 11, 12lmodvscl 18801 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
191, 3, 4, 18syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
205, 9, 6lmod0vrid 18815 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊)) = (𝑅 · 𝑋))
211, 19, 20syl2anc 692 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊)) = (𝑅 · 𝑋))
2221fveq2d 6152 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊))) = (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)))
23 eqid 2621 . . . . . 6 (0g𝐷) = (0g𝐷)
2410, 23, 6, 15lfl0 33832 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺‘(0g𝑊)) = (0g𝐷))
25243adant3 1079 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺‘(0g𝑊)) = (0g𝐷))
2625oveq2d 6620 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(𝐺‘(0g𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(0g𝐷)))
2710lmodfgrp 18793 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
28273ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → 𝐷 ∈ Grp)
2910, 12, 5, 15lflcl 33831 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ 𝐾)
30293adant3l 1319 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺𝑋) ∈ 𝐾)
3110, 12, 14lmodmcl 18796 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾 ∧ (𝐺𝑋) ∈ 𝐾) → (𝑅 × (𝐺𝑋)) ∈ 𝐾)
321, 3, 30, 31syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝑅 × (𝐺𝑋)) ∈ 𝐾)
3312, 13, 23grprid 17374 . . . 4 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝑅 × (𝐺𝑋)) ∈ 𝐾) → ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(0g𝐷)) = (𝑅 × (𝐺𝑋)))
3428, 32, 33syl2anc 692 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(0g𝐷)) = (𝑅 × (𝐺𝑋)))
3526, 34eqtrd 2655 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(𝐺‘(0g𝑊))) = (𝑅 × (𝐺𝑋)))
3617, 22, 353eqtr3d 2663 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 × (𝐺𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  .rcmulr 15863  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  0gc0g 16021  Grpcgrp 17343  LModclmod 18784  LFnlclfn 33824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-lmod 18786  df-lfl 33825
This theorem is referenced by:  lfl1  33837  lfladdcl  33838  eqlkr  33866  lkrlsp  33869  dochkr1  36247  dochkr1OLDN  36248  lcfl7lem  36268  lclkrlem2m  36288  hdmaplnm1  36681
  Copyright terms: Public domain W3C validator