MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulm2 24476
Description: Rewrite the limit of the sequence 𝐺 in terms of the log-Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.g 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulm2 (𝜑 → (∀𝑧𝑈 (log Γ‘𝑧) ∈ ℂ ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑥,𝑧,𝑅   𝑈,𝑚,𝑧   𝜑,𝑚,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem lgamgulm2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
2 lgamgulm.u . . . . . . 7 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
31, 2lgamgulmlem1 24469 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
43sselda 3564 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
5 ovex 6552 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)) ∈ V
6 df-lgam 24459 . . . . . 6 log Γ = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↦ (Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)))
76fvmpt2 6182 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ∧ (Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)) ∈ V) → (log Γ‘𝑧) = (Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)))
84, 5, 7sylancl 692 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑈) → (log Γ‘𝑧) = (Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)))
9 nnuz 11552 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
10 1zzd 11238 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑈) → 1 ∈ ℤ)
11 oveq1 6531 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
12 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛𝑚 = 𝑛)
1311, 12oveq12d 6542 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
1413fveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))
1514oveq2d 6540 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))))
16 oveq2 6532 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑧 / 𝑚) = (𝑧 / 𝑛))
1716oveq1d 6539 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑧 / 𝑚) + 1) = ((𝑧 / 𝑛) + 1))
1817fveq2d 6089 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1)))
1915, 18oveq12d 6542 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) = ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))))
20 eqid 2606 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))
21 ovex 6552 . . . . . . . . 9 ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ V
2219, 20, 21fvmpt 6173 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))‘𝑛) = ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))))
2322adantl 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))‘𝑛) = ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))))
244eldifad 3548 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ ℂ)
2524adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℂ)
26 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
2726peano2nnd 10881 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
2827nnrpd 11699 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
2926nnrpd 11699 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
3028, 29rpdivcld 11718 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
3130relogcld 24087 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
3231recnd 9921 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℂ)
3325, 32mulcld 9913 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℂ)
3426nncnd 10880 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
3526nnne0d 10909 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
3625, 34, 35divcld 10647 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑧 / 𝑛) ∈ ℂ)
37 1cnd 9909 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
3836, 37addcld 9912 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑧 / 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
394adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
4039, 26dmgmdivn0 24468 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑧 / 𝑛) + 1) ≠ 0)
4138, 40logcld 24035 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
4233, 41subcld 10240 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
43 1z 11237 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
44 seqfn 12627 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℤ → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) Fn (ℤ‘1))
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) Fn (ℤ‘1)
469fneq2i 5883 . . . . . . . . . . 11 (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) Fn ℕ ↔ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) Fn (ℤ‘1))
4745, 46mpbir 219 . . . . . . . . . 10 seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) Fn ℕ
48 lgamgulm.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
491, 2, 48lgamgulm 24475 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈))
50 ulmdm 23865 . . . . . . . . . . 11 (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈) ↔ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)))
5149, 50sylib 206 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)))
52 ulmf2 23856 . . . . . . . . . 10 ((seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) Fn ℕ ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺))) → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺):ℕ⟶(ℂ ↑𝑚 𝑈))
5347, 51, 52sylancr 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺):ℕ⟶(ℂ ↑𝑚 𝑈))
5453adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑈) → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺):ℕ⟶(ℂ ↑𝑚 𝑈))
55 simpr 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑈) → 𝑧𝑈)
56 seqex 12617 . . . . . . . . 9 seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))) ∈ V
5756a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑈) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))) ∈ V)
5848a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))
5958seqeq3d 12623 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) = seq1( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))))
6059fveq1d 6087 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)‘𝑛) = (seq1( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))‘𝑛))
61 cnex 9870 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ ∈ V
622, 61rabex2 4734 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑈 ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑈 ∈ V)
64 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
6564, 9syl6eleq 2694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
66 fz1ssnn 12195 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑛) ⊆ ℕ
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
68 ovex 6552 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) ∈ V
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑈)) → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) ∈ V)
7063, 65, 67, 69seqof2 12673 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))‘𝑛) = (𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛)))
7170adantlr 746 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))))‘𝑛) = (𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛)))
7260, 71eqtrd 2640 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)‘𝑛) = (𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛)))
7372fveq1d 6087 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)‘𝑛)‘𝑧) = ((𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))‘𝑧))
7455adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑧𝑈)
75 fvex 6095 . . . . . . . . . 10 (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛) ∈ V
76 eqid 2606 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛)) = (𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))
7776fvmpt2 6182 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑈 ∧ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛) ∈ V) → ((𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))‘𝑧) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))
7874, 75, 77sylancl 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑧𝑈 ↦ (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))‘𝑧) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))
7973, 78eqtrd 2640 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑈) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)‘𝑛)‘𝑧) = (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))‘𝑛))
8051adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑈) → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)))
819, 10, 54, 55, 57, 79, 80ulmclm 23859 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑈) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))) ⇝ (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺))‘𝑧))
829, 10, 23, 42, 81isumclim 14273 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑈) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) = (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺))‘𝑧))
83 ulmcl 23853 . . . . . . . 8 (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)) → ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)):𝑈⟶ℂ)
8451, 83syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)):𝑈⟶ℂ)
8584ffvelrnda 6249 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑈) → (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺))‘𝑧) ∈ ℂ)
8682, 85eqeltrd 2684 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑈) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
874dmgmn0 24466 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑈) → 𝑧 ≠ 0)
8824, 87logcld 24035 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑈) → (log‘𝑧) ∈ ℂ)
8986, 88subcld 10240 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑈) → (Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)) ∈ ℂ)
908, 89eqeltrd 2684 . . 3 ((𝜑𝑧𝑈) → (log Γ‘𝑧) ∈ ℂ)
9190ralrimiva 2945 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝑈 (log Γ‘𝑧) ∈ ℂ)
92 ffn 5941 . . . . . 6 (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)):𝑈⟶ℂ → ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)) Fn 𝑈)
9351, 83, 923syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)) Fn 𝑈)
94 nfcv 2747 . . . . . . 7 𝑧(⇝𝑢𝑈)
95 nfcv 2747 . . . . . . . 8 𝑧1
96 nfcv 2747 . . . . . . . 8 𝑧𝑓 +
97 nfcv 2747 . . . . . . . . . 10 𝑧
98 nfmpt1 4666 . . . . . . . . . 10 𝑧(𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))
9997, 98nfmpt 4665 . . . . . . . . 9 𝑧(𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
10048, 99nfcxfr 2745 . . . . . . . 8 𝑧𝐺
10195, 96, 100nfseq 12625 . . . . . . 7 𝑧seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)
10294, 101nffv 6092 . . . . . 6 𝑧((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺))
103102dffn5f 6144 . . . . 5 (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)) Fn 𝑈 ↔ ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)) = (𝑧𝑈 ↦ (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺))‘𝑧)))
10493, 103sylib 206 . . . 4 (𝜑 → ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)) = (𝑧𝑈 ↦ (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺))‘𝑧)))
1058oveq1d 6539 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑈) → ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)) = ((Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)) + (log‘𝑧)))
10686, 88npcand 10244 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑈) → ((Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))) − (log‘𝑧)) + (log‘𝑧)) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝑧 / 𝑛) + 1))))
107105, 106, 823eqtrrd 2645 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑈) → (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺))‘𝑧) = ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))
108107mpteq2dva 4663 . . . 4 (𝜑 → (𝑧𝑈 ↦ (((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺))‘𝑧)) = (𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧))))
109104, 108eqtrd 2640 . . 3 (𝜑 → ((⇝𝑢𝑈)‘seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)) = (𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧))))
11051, 109breqtrd 4600 . 2 (𝜑 → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧))))
11191, 110jca 552 1 (𝜑 → (∀𝑧𝑈 (log Γ‘𝑧) ∈ ℂ ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈 ↦ ((log Γ‘𝑧) + (log‘𝑧)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2892  {crab 2896  Vcvv 3169  cdif 3533  wss 3536   class class class wbr 4574  cmpt 4634  dom cdm 5025   Fn wfn 5782  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524  𝑓 cof 6767  𝑚 cmap 7718  cc 9787  1c1 9790   + caddc 9792   · cmul 9794  cle 9928  cmin 10114   / cdiv 10530  cn 10864  0cn0 11136  cz 11207  cuz 11516  ...cfz 12149  seqcseq 12615  abscabs 13765  Σcsu 14207  𝑢culm 23848  logclog 24019  log Γclgam 24456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-addf 9868  ax-mulf 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-ixp 7769  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-ioo 12003  df-ioc 12004  df-ico 12005  df-icc 12006  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-fl 12407  df-mod 12483  df-seq 12616  df-exp 12675  df-fac 12875  df-bc 12904  df-hash 12932  df-shft 13598  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-limsup 13993  df-clim 14010  df-rlim 14011  df-sum 14208  df-ef 14580  df-sin 14582  df-cos 14583  df-tan 14584  df-pi 14585  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-ip 15729  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-hom 15736  df-cco 15737  df-rest 15849  df-topn 15850  df-0g 15868  df-gsum 15869  df-topgen 15870  df-pt 15871  df-prds 15874  df-xrs 15928  df-qtop 15933  df-imas 15934  df-xps 15936  df-mre 16012  df-mrc 16013  df-acs 16015  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-submnd 17102  df-mulg 17307  df-cntz 17516  df-cmn 17961  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-fbas 19507  df-fg 19508  df-cnfld 19511  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-cld 20572  df-ntr 20573  df-cls 20574  df-nei 20651  df-lp 20689  df-perf 20690  df-cn 20780  df-cnp 20781  df-haus 20868  df-cmp 20939  df-tx 21114  df-hmeo 21307  df-fil 21399  df-fm 21491  df-flim 21492  df-flf 21493  df-xms 21873  df-ms 21874  df-tms 21875  df-cncf 22417  df-limc 23350  df-dv 23351  df-ulm 23849  df-log 24021  df-cxp 24022  df-lgam 24459
This theorem is referenced by:  lgambdd  24477  lgamcvglem  24480
  Copyright terms: Public domain W3C validator