MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem3 24674
Description: Lemma for lgamgulm 24678. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lgamgulm.a (𝜑𝐴𝑈)
lgamgulm.l (𝜑 → (2 · 𝑅) ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑘,𝑅   𝐴,𝑘,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem lgamgulmlem3
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
2 lgamgulm.u . . . . . . . 8 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
31, 2lgamgulmlem1 24672 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
4 lgamgulm.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑈)
53, 4sseldd 3588 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
65eldifad 3571 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
7 lgamgulm.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
87peano2nnd 10989 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
98nnrpd 11822 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
107nnrpd 11822 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
119, 10rpdivcld 11841 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ+)
1211relogcld 24290 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℝ)
1312recnd 10020 . . . . 5 (𝜑 → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
146, 13mulcld 10012 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) ∈ ℂ)
157nncnd 10988 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
167nnne0d 11017 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ≠ 0)
176, 15, 16divcld 10753 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
18 1cnd 10008 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1917, 18addcld 10011 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
205, 7dmgmdivn0 24671 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ≠ 0)
2119, 20logcld 24238 . . . 4 (𝜑 → (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
2214, 21subcld 10344 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
2322abscld 14117 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ∈ ℝ)
2414, 17subcld 10344 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁)) ∈ ℂ)
2524abscld 14117 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) ∈ ℝ)
2617, 21subcld 10344 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
2726abscld 14117 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ∈ ℝ)
2825, 27readdcld 10021 . 2 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) + (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))) ∈ ℝ)
291nnred 10987 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
30 2re 11042 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
32 1red 10007 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3329, 32readdcld 10021 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 + 1) ∈ ℝ)
3431, 33remulcld 10022 . . . 4 (𝜑 → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℝ)
357nnsqcld 12977 . . . 4 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
3634, 35nndivred 11021 . . 3 (𝜑 → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2)) ∈ ℝ)
3729, 36remulcld 10022 . 2 (𝜑 → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))) ∈ ℝ)
3814, 21, 17abs3difd 14141 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ ((abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) + (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))))
397nnrecred 11018 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
408nnrecred 11018 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4139, 40resubcld 10410 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
4229, 41remulcld 10022 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) ∈ ℝ)
4331, 29remulcld 10022 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
447nnred 10987 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
451nnrpd 11822 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
4629, 45ltaddrpd 11857 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 < (𝑅 + 𝑅))
471nncnd 10988 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
48472timesd 11227 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
4946, 48breqtrrd 4646 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 < (2 · 𝑅))
50 lgamgulm.l . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑅) ≤ 𝑁)
5129, 43, 44, 49, 50ltletrd 10149 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 < 𝑁)
52 difrp 11820 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑅) ∈ ℝ+))
5329, 44, 52syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑅) ∈ ℝ+))
5451, 53mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑅) ∈ ℝ+)
5554rprecred 11835 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (𝑁𝑅)) ∈ ℝ)
5655, 39resubcld 10410 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
5729, 56remulcld 10022 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
5842, 57readdcld 10021 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) + (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))) ∈ ℝ)
596, 15, 16divrecd 10756 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / 𝑁) = (𝐴 · (1 / 𝑁)))
6059oveq2d 6626 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁)) = ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 · (1 / 𝑁))))
6139recnd 10020 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
626, 13, 61subdid 10438 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))) = ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 · (1 / 𝑁))))
6360, 62eqtr4d 2658 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁)) = (𝐴 · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))))
6463fveq2d 6157 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) = (abs‘(𝐴 · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)))))
6513, 61subcld 10344 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
666, 65absmuld 14135 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)))))
6764, 66eqtrd 2655 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)))))
686abscld 14117 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6965abscld 14117 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
706absge0d 14125 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
7165absge0d 14125 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))))
72 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐴))
7372breq1d 4628 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝐴) ≤ 𝑅))
74 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 + 𝑘) = (𝐴 + 𝑘))
7574fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝑥 + 𝑘)) = (abs‘(𝐴 + 𝑘)))
7675breq2d 4630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
7776ralbidv 2981 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
7873, 77anbi12d 746 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))) ↔ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))))
7978, 2elrab2 3352 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑈 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))))
8079simprbi 480 . . . . . . . 8 (𝐴𝑈 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
814, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
8281simpld 475 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑅)
839, 10relogdivd 24293 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
84 logdifbnd 24637 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ+ → ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)) ≤ (1 / 𝑁))
8510, 84syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)) ≤ (1 / 𝑁))
8683, 85eqbrtrd 4640 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ≤ (1 / 𝑁))
8712, 39, 86abssuble0d 14113 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))) = ((1 / 𝑁) − (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
88 logdiflbnd 24638 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ+ → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
8910, 88syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
9089, 83breqtrrd 4646 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
9140, 12, 39, 90lesub2dd 10596 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝑁) − (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) ≤ ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))))
9287, 91eqbrtrd 4640 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))) ≤ ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))))
9368, 29, 69, 41, 70, 71, 82, 92lemul12ad 10918 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)))) ≤ (𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))))
9467, 93eqbrtrd 4640 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) ≤ (𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))))
951, 2, 7, 4, 50lgamgulmlem2 24673 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
9625, 27, 42, 57, 94, 95le2addd 10598 . . 3 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) + (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))) ≤ ((𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) + (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
9715, 47subcld 10344 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑅) ∈ ℂ)
9815, 18addcld 10011 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
9929, 51gtned 10124 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁𝑅)
10015, 47, 99subne0d 10353 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑅) ≠ 0)
1018nnne0d 11017 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
10297, 98, 100, 101subrecd 10808 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) − (𝑁𝑅)) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))))
10315, 18, 47pnncand 10383 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁𝑅)) = (1 + 𝑅))
10418, 47addcomd 10190 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + 𝑅) = (𝑅 + 1))
105103, 104eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁𝑅)) = (𝑅 + 1))
106105oveq1d 6625 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁 + 1) − (𝑁𝑅)) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))) = ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))))
107102, 106eqtr2d 2656 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))) = ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1))))
108107oveq2d 6626 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 · ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)))) = (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1)))))
10998, 101reccld 10746 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
11097, 100reccld 10746 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (𝑁𝑅)) ∈ ℂ)
11161, 109, 110npncan3d 10380 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) + ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1))))
112111eqcomd 2627 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1))) = (((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) + ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
113112oveq2d 6626 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1)))) = (𝑅 · (((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) + ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
11441recnd 10020 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
11556recnd 10020 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
11647, 114, 115adddid 10016 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 · (((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) + ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))) = ((𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) + (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
117108, 113, 1163eqtrd 2659 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)))) = ((𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) + (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
11854, 9rpmulcld 11840 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
11933, 118rerpdivcld 11855 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
12045rpge0d 11828 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
121 2z 11361 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
122121a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
12310, 122rpexpcld 12980 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℝ+)
124123rphalfcld 11836 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℝ+)
125 0le1 10503 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
126125a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 1)
12729, 32, 120, 126addge0d 10555 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑅 + 1))
12815sqvald 12953 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
129128oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑2) / 2) = ((𝑁 · 𝑁) / 2))
13031recnd 10020 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
131 2ne0 11065 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
132131a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ≠ 0)
13315, 15, 130, 132div23d 10790 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑁) / 2) = ((𝑁 / 2) · 𝑁))
134129, 133eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁↑2) / 2) = ((𝑁 / 2) · 𝑁))
13544rehalfcld 11231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
13644, 29resubcld 10410 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑅) ∈ ℝ)
13744, 32readdcld 10021 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
138 2rp 11789 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
139138a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
14010rpge0d 11828 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
14144, 139, 140divge0d 11864 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 / 2))
14229, 44, 139lemuldiv2d 11874 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑅) ≤ 𝑁𝑅 ≤ (𝑁 / 2)))
14350, 142mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ≤ (𝑁 / 2))
144152halvesd 11230 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 / 2) + (𝑁 / 2)) = 𝑁)
145135recnd 10020 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
14615, 145, 145subaddd 10362 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2) ↔ ((𝑁 / 2) + (𝑁 / 2)) = 𝑁))
147144, 146mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
148143, 147breqtrrd 4646 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ≤ (𝑁 − (𝑁 / 2)))
14929, 44, 135, 148lesubd 10583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁𝑅))
15044lep1d 10907 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
151135, 136, 44, 137, 141, 140, 149, 150lemul12ad 10918 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 / 2) · 𝑁) ≤ ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)))
152134, 151eqbrtrd 4640 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁↑2) / 2) ≤ ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)))
153124, 118, 33, 127, 152lediv2ad 11846 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))) ≤ ((𝑅 + 1) / ((𝑁↑2) / 2)))
1541peano2nnd 10989 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 + 1) ∈ ℕ)
155154nncnd 10988 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 + 1) ∈ ℂ)
15635nncnd 10988 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
15735nnne0d 11017 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁↑2) ≠ 0)
158155, 156, 130, 157, 132divdiv2d 10785 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅 + 1) / ((𝑁↑2) / 2)) = (((𝑅 + 1) · 2) / (𝑁↑2)))
159155, 130mulcomd 10013 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅 + 1) · 2) = (2 · (𝑅 + 1)))
160159oveq1d 6625 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑅 + 1) · 2) / (𝑁↑2)) = ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2)))
161158, 160eqtr2d 2656 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2)) = ((𝑅 + 1) / ((𝑁↑2) / 2)))
162153, 161breqtrrd 4646 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))) ≤ ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2)))
163119, 36, 29, 120, 162lemul2ad 10916 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)))) ≤ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))))
164117, 163eqbrtrrd 4642 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) + (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))) ≤ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))))
16528, 58, 37, 96, 164letrd 10146 . 2 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) + (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))) ≤ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))))
16623, 28, 37, 38, 165letrd 10146 1 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  {crab 2911  cdif 3556   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893   < clt 10026  cle 10027  cmin 10218   / cdiv 10636  cn 10972  2c2 11022  0cn0 11244  cz 11329  +crp 11784  cexp 12808  abscabs 13916  logclog 24222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-ef 14734  df-sin 14736  df-cos 14737  df-tan 14738  df-pi 14739  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-cmp 21113  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-limc 23553  df-dv 23554  df-log 24224
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem5  24676
  Copyright terms: Public domain W3C validator