MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem6 24805
Description: The series 𝐺 is uniformly convergent on the compact region 𝑈, which describes a circle of radius 𝑅 with holes of size 1 / 𝑅 around the poles of the gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.g 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
lgamgulm.t 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem6 (𝜑 → (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈) ∧ (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑟   𝑘,𝑚,𝑟,𝑥,𝑧,𝑅   𝑈,𝑚,𝑟,𝑧   𝑂,𝑟   𝜑,𝑚,𝑟,𝑥,𝑧   𝑇,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑂(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem lgamgulmlem6
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11761 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11446 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 lgamgulm.u . . . . 5 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
4 cnex 10055 . . . . 5 ℂ ∈ V
53, 4rabex2 4847 . . . 4 𝑈 ∈ V
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ V)
7 lgamgulm.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
87, 3lgamgulmlem1 24800 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
98ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
10 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧𝑈)
119, 10sseldd 3637 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
1211eldifad 3619 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ ℂ)
13 simplr 807 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑚 ∈ ℕ)
1413peano2nnd 11075 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
1514nnrpd 11908 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
1613nnrpd 11908 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑚 ∈ ℝ+)
1715, 16rpdivcld 11927 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
1817relogcld 24414 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
1918recnd 10106 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
2012, 19mulcld 10098 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℂ)
2113nncnd 11074 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑚 ∈ ℂ)
2213nnne0d 11103 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑚 ≠ 0)
2312, 21, 22divcld 10839 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑧 / 𝑚) ∈ ℂ)
24 1cnd 10094 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 1 ∈ ℂ)
2523, 24addcld 10097 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑧 / 𝑚) + 1) ∈ ℂ)
2611, 13dmgmdivn0 24799 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑧 / 𝑚) + 1) ≠ 0)
2725, 26logcld 24362 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)) ∈ ℂ)
2820, 27subcld 10430 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) ∈ ℂ)
29 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) = (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))))
3028, 29fmptd 6425 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))):𝑈⟶ℂ)
314, 5elmap 7928 . . . . 5 ((𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑈) ↔ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))):𝑈⟶ℂ)
3230, 31sylibr 224 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑈))
33 lgamgulm.g . . . 4 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
3432, 33fmptd 6425 . . 3 (𝜑𝐺:ℕ⟶(ℂ ↑𝑚 𝑈))
35 lgamgulm.t . . . . 5 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
36 nnex 11064 . . . . . 6 ℕ ∈ V
3736mptex 6527 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)))) ∈ V
3835, 37eqeltri 2726 . . . 4 𝑇 ∈ V
3938a1i 11 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
407adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ)
4140nnred 11073 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
42 2re 11128 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
44 1red 10093 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
4541, 44readdcld 10107 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ)
4643, 45remulcld 10108 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℝ)
47 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
4847nnsqcld 13069 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑2) ∈ ℕ)
4946, 48nndivred 11107 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2)) ∈ ℝ)
5041, 49remulcld 10108 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))) ∈ ℝ)
5147peano2nnd 11075 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
5251nnrpd 11908 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
5347nnrpd 11908 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
5452, 53rpdivcld 11927 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
5554relogcld 24414 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
5641, 55remulcld 10108 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℝ)
5740peano2nnd 11075 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℕ)
5857nnrpd 11908 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ+)
5958, 53rpmulcld 11926 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅 + 1) · 𝑚) ∈ ℝ+)
6059relogcld 24414 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) ∈ ℝ)
61 pire 24255 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
6261a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
6360, 62readdcld 10107 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π) ∈ ℝ)
6456, 63readdcld 10107 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)) ∈ ℝ)
6550, 64ifcld 4164 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))) ∈ ℝ)
6665, 35fmptd 6425 . . . 4 (𝜑𝑇:ℕ⟶ℝ)
6766ffvelrnda 6399 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) ∈ ℝ)
687, 3, 33, 35lgamgulmlem5 24804 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑈)) → (abs‘((𝐺𝑛)‘𝑦)) ≤ (𝑇𝑛))
697, 3, 33, 35lgamgulmlem4 24803 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
701, 2, 6, 34, 39, 67, 68, 69mtest 24203 . 2 (𝜑 → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈))
71 1zzd 11446 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → 1 ∈ ℤ)
725a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → 𝑈 ∈ V)
7334adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → 𝐺:ℕ⟶(ℂ ↑𝑚 𝑈))
7438a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → 𝑇 ∈ V)
7567adantlr 751 . . . . 5 (((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) ∈ ℝ)
7668adantlr 751 . . . . 5 (((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑈)) → (abs‘((𝐺𝑛)‘𝑦)) ≤ (𝑇𝑛))
7769adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
78 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂))
791, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78mtestbdd 24204 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟)
80 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑧abs
81 nffvmpt1 6237 . . . . . . . . 9 𝑧((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)
8280, 81nffv 6236 . . . . . . . 8 𝑧(abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦))
83 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑧
84 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑧𝑟
8582, 83, 84nfbr 4732 . . . . . . 7 𝑧(abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟
86 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑦(abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟
87 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦) = ((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧))
8887fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) = (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)))
8988breq1d 4695 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟))
9085, 86, 89cbvral 3197 . . . . . 6 (∀𝑦𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟)
91 ulmcl 24180 . . . . . . . . 9 (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂) → (𝑧𝑈𝑂):𝑈⟶ℂ)
9291adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → (𝑧𝑈𝑂):𝑈⟶ℂ)
93 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑈𝑂) = (𝑧𝑈𝑂)
9493fmpt 6421 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑈 𝑂 ∈ ℂ ↔ (𝑧𝑈𝑂):𝑈⟶ℂ)
9592, 94sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → ∀𝑧𝑈 𝑂 ∈ ℂ)
9693fvmpt2 6330 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑈𝑂 ∈ ℂ) → ((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧) = 𝑂)
9796fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑈𝑂 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) = (abs‘𝑂))
9897breq1d 4695 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑈𝑂 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
9998ralimiaa 2980 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑈 𝑂 ∈ ℂ → ∀𝑧𝑈 ((abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
100 ralbi 3097 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑈 ((abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟) → (∀𝑧𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
10195, 99, 1003syl 18 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → (∀𝑧𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
10290, 101syl5bb 272 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → (∀𝑦𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
103102rexbidv 3081 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
10479, 103mpbid 222 . . 3 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)
105104ex 449 . 2 (𝜑 → (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
10670, 105jca 553 1 (𝜑 → (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈) ∧ (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  𝑚 cmap 7899  cc 9972  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  seqcseq 12841  cexp 12900  abscabs 14018  cli 14259  πcpi 14841  𝑢culm 24175  logclog 24346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-ulm 24176  df-log 24348  df-cxp 24349
This theorem is referenced by:  lgamgulm  24806  lgambdd  24808
  Copyright terms: Public domain W3C validator