MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsabs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsabs1 24805
Description: The Legendre symbol is nonzero (and hence equal to 1 or -1) precisely when the arguments are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsabs1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem lgsabs1
StepHypRef Expression
1 lgscl 24780 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
21zcnd 11317 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
32abscld 13971 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℝ)
4 1re 9895 . . 3 1 ∈ ℝ
5 letri3 9974 . . 3 (((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1 ↔ ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)))))
63, 4, 5sylancl 692 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1 ↔ ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)))))
7 lgsle1 24781 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≤ 1)
87biantrurd 527 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ↔ ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)))))
9 nnne0 10902 . . . 4 ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≠ 0)
10 nn0abscl 13848 . . . . . . . 8 ((𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ0)
111, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ0)
12 elnn0 11143 . . . . . . 7 ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ0 ↔ ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ ∨ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 0))
1311, 12sylib 206 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ ∨ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 0))
1413ord 390 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 0))
1514necon1ad 2798 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≠ 0 → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ))
169, 15impbid2 214 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ ↔ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≠ 0))
17 elnnnn0c 11187 . . . . 5 ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (abs‘(𝐴 /L 𝑁))))
1817baib 941 . . . 4 ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ0 → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ ↔ 1 ≤ (abs‘(𝐴 /L 𝑁))))
1911, 18syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ ↔ 1 ≤ (abs‘(𝐴 /L 𝑁))))
20 abs00 13825 . . . . . 6 ((𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 0 ↔ (𝐴 /L 𝑁) = 0))
2120necon3bid 2825 . . . . 5 ((𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≠ 0 ↔ (𝐴 /L 𝑁) ≠ 0))
222, 21syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≠ 0 ↔ (𝐴 /L 𝑁) ≠ 0))
23 lgsne0 24804 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
2422, 23bitrd 266 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
2516, 19, 243bitr3d 296 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
266, 8, 253bitr2d 294 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5789  (class class class)co 6526  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793  cle 9931  cn 10869  0cn0 11141  cz 11212  abscabs 13770   gcd cgcd 15002   /L clgs 24763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-q 11623  df-rp 11667  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-fl 12412  df-mod 12488  df-seq 12621  df-exp 12680  df-hash 12937  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-dvds 14770  df-gcd 15003  df-prm 15172  df-phi 15257  df-pc 15328  df-lgs 24764
This theorem is referenced by:  lgssq  24806  lgssq2  24807  lgsquad3  24856
  Copyright terms: Public domain W3C validator