MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdchr 24993
Description: The Legendre symbol function 𝑋(𝑚) = (𝑚 /L 𝑁), where 𝑁 is an odd positive number, is a real Dirichlet character modulo 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdchr.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
lgsdchr.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
lgsdchr.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
lgsdchr.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
lgsdchr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
lgsdchr.x 𝑋 = (𝑦𝐵 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
lgsdchr ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋𝐷𝑋:𝐵⟶ℝ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   ,𝑚,𝑦,𝐿   ,𝑁,𝑚,𝑦   𝑦,𝑋   𝑦,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(,𝑚)   𝐷(𝑦,,𝑚)   𝐺(𝑦,,𝑚)   𝑋(,𝑚)   𝑍(,𝑚)

Proof of Theorem lgsdchr
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iotaex 5832 . . . . . 6 (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V
21a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦𝐵) → (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V)
3 lgsdchr.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑦𝐵 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
43a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋 = (𝑦𝐵 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁)))))
5 nnnn0 11250 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
65adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 lgsdchr.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8 lgsdchr.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑍)
9 lgsdchr.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
107, 8, 9znzrhfo 19824 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto𝐵)
116, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝐿:ℤ–onto𝐵)
12 foelrn 6339 . . . . . . 7 ((𝐿:ℤ–onto𝐵𝑥𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎))
1311, 12sylan 488 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎))
14 lgsdchr.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (DChr‘𝑁)
15 lgsdchr.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (Base‘𝐺)
1614, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 24992 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑎 /L 𝑁))
17 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
18 nnz 11350 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
1918ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 lgscl 24949 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℤ)
2117, 19, 20syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℤ)
2221zred 11433 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 /L 𝑁) ∈ ℝ)
2316, 22eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝑎)) ∈ ℝ)
24 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐿𝑎) → (𝑋𝑥) = (𝑋‘(𝐿𝑎)))
2524eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐿𝑎) → ((𝑋𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑋‘(𝐿𝑎)) ∈ ℝ))
2623, 25syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑥 = (𝐿𝑎) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ))
2726rexlimdva 3025 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ))
2827imp 445 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎)) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
2913, 28syldan 487 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
302, 4, 29fmpt2d 6354 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋:𝐵⟶ℝ)
31 ax-resscn 9944 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
32 fss 6018 . . . 4 ((𝑋:𝐵⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
3330, 31, 32sylancl 693 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
34 eqid 2621 . . . . . 6 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
358, 34unitss 18588 . . . . 5 (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵
36 foelrn 6339 . . . . . . . . 9 ((𝐿:ℤ–onto𝐵𝑦𝐵) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿𝑏))
3711, 36sylan 488 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦𝐵) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿𝑏))
3813, 37anim12dan 881 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿𝑏)))
39 reeanv 3100 . . . . . . . . 9 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿𝑏)))
4017adantrr 752 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
41 simprr 795 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
426adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
43 lgsdirnn0 24982 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
457zncrng 19821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
466, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑍 ∈ CRing)
47 crngring 18486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑍 ∈ Ring)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ Ring)
509zrhrhm 19788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
52 zringbas 19752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ = (Base‘ℤring)
53 zringmulr 19755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 · = (.r‘ℤring)
54 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑍) = (.r𝑍)
5552, 53, 54rhmmul 18655 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏)))
5651, 40, 41, 55syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐿‘(𝑎 · 𝑏)) = ((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏)))
5756fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = (𝑋‘((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏))))
58 zmulcl 11377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
5914, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 24992 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
6058, 59sylan2 491 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑎 · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
6157, 60eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏))) = ((𝑎 · 𝑏) /L 𝑁))
6216adantrr 752 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑎 /L 𝑁))
6314, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 24992 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝑏)) = (𝑏 /L 𝑁))
6463adantrl 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿𝑏)) = (𝑏 /L 𝑁))
6562, 64oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (𝑋‘(𝐿𝑏))) = ((𝑎 /L 𝑁) · (𝑏 /L 𝑁)))
6644, 61, 653eqtr4d 2665 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑋‘((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏))) = ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (𝑋‘(𝐿𝑏))))
67 oveq12 6619 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) = ((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏)))
6867fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (𝑋‘((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏))))
69 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐿𝑏) → (𝑋𝑦) = (𝑋‘(𝐿𝑏)))
7024, 69oveqan12d 6629 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) = ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (𝑋‘(𝐿𝑏))))
7168, 70eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → ((𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ↔ (𝑋‘((𝐿𝑎)(.r𝑍)(𝐿𝑏))) = ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (𝑋‘(𝐿𝑏)))))
7266, 71syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
7372rexlimdvva 3032 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
7439, 73syl5bir 233 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿𝑏)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
7574imp 445 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = (𝐿𝑏))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
7638, 75syldan 487 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
7776ralrimivva 2966 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
78 ssralv 3650 . . . . . . 7 ((Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵 → (∀𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) → ∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
7978ralimdv 2958 . . . . . 6 ((Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵 → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) → ∀𝑥𝐵𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
80 ssralv 3650 . . . . . 6 ((Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵 → (∀𝑥𝐵𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) → ∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
8179, 80syld 47 . . . . 5 ((Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵 → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) → ∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
8235, 77, 81mpsyl 68 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
83 1z 11358 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
8414, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 24992 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (1 /L 𝑁))
8583, 84mpan2 706 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (1 /L 𝑁))
86 eqid 2621 . . . . . . . 8 (1r𝑍) = (1r𝑍)
879, 86zrh1 19789 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r𝑍))
8848, 87syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐿‘1) = (1r𝑍))
8988fveq2d 6157 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(𝐿‘1)) = (𝑋‘(1r𝑍)))
9018adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
91 1lgs 24978 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (1 /L 𝑁) = 1)
9290, 91syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (1 /L 𝑁) = 1)
9385, 89, 923eqtr3d 2663 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
94 lgsne0 24973 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
9517, 19, 94syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
9695biimpd 219 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 /L 𝑁) ≠ 0 → (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
9716neeq1d 2849 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) ≠ 0 ↔ (𝑎 /L 𝑁) ≠ 0))
987, 34, 9znunit 19840 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑎) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
996, 98sylan 488 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑎) ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝑎 gcd 𝑁) = 1))
10096, 97, 993imtr4d 283 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) ≠ 0 → (𝐿𝑎) ∈ (Unit‘𝑍)))
10124neeq1d 2849 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐿𝑎) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋‘(𝐿𝑎)) ≠ 0))
102 eleq1 2686 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐿𝑎) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ (𝐿𝑎) ∈ (Unit‘𝑍)))
103101, 102imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐿𝑎) → (((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)) ↔ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) ≠ 0 → (𝐿𝑎) ∈ (Unit‘𝑍))))
104100, 103syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑥 = (𝐿𝑎) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
105104rexlimdva 3025 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
106105imp 445 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = (𝐿𝑎)) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
10713, 106syldan 487 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
108107ralrimiva 2961 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
10982, 93, 1083jca 1240 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))
110 simpl 473 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
11114, 7, 8, 34, 110, 15dchrelbas3 24876 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))))
11233, 109, 111mpbir2and 956 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑋𝐷)
113112, 30jca 554 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑋𝐷𝑋:𝐵⟶ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3189  wss 3559   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cio 5813  wf 5848  ontowfo 5850  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   · cmul 9892  cn 10971  2c2 11021  0cn0 11243  cz 11328  cdvds 14914   gcd cgcd 15147  Basecbs 15788  .rcmulr 15870  1rcur 18429  Ringcrg 18475  CRingccrg 18476  Unitcui 18567   RingHom crh 18640  ringzring 19746  ℤRHomczrh 19776  ℤ/nczn 19779  DChrcdchr 24870   /L clgs 24932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-ec 7696  df-qs 7700  df-map 7811  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-inf 8300  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-xnn0 11315  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-dvds 14915  df-gcd 15148  df-prm 15317  df-phi 15402  df-pc 15473  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-0g 16030  df-imas 16096  df-qus 16097  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-mhm 17263  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-sbg 17355  df-mulg 17469  df-subg 17519  df-nsg 17520  df-eqg 17521  df-ghm 17586  df-cmn 18123  df-abl 18124  df-mgp 18418  df-ur 18430  df-ring 18477  df-cring 18478  df-oppr 18551  df-dvdsr 18569  df-unit 18570  df-rnghom 18643  df-subrg 18706  df-lmod 18793  df-lss 18861  df-lsp 18900  df-sra 19100  df-rgmod 19101  df-lidl 19102  df-rsp 19103  df-2idl 19160  df-cnfld 19675  df-zring 19747  df-zrh 19780  df-zn 19783  df-dchr 24871  df-lgs 24933
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator