MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdi 25837
Description: The Legendre symbol is completely multiplicative in its right argument. Generalization of theorem 9.9(b) in [ApostolNT] p. 188 (which assumes that 𝑀 and 𝑁 are odd positive integers). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdi (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsdi
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anrot 1092 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
2 lgsdilem 25827 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → if((𝐴 < 0 ∧ (𝑀 · 𝑁) < 0), -1, 1) = (if((𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0), -1, 1) · if((𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0), -1, 1)))
31, 2sylanb 581 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → if((𝐴 < 0 ∧ (𝑀 · 𝑁) < 0), -1, 1) = (if((𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0), -1, 1) · if((𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0), -1, 1)))
4 ancom 461 . . . . 5 (((𝑀 · 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ (𝑀 · 𝑁) < 0))
5 ifbi 4484 . . . . 5 ((((𝑀 · 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ (𝑀 · 𝑁) < 0)) → if(((𝑀 · 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ (𝑀 · 𝑁) < 0), -1, 1))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 if(((𝑀 · 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ (𝑀 · 𝑁) < 0), -1, 1)
7 ancom 461 . . . . . 6 ((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0))
8 ifbi 4484 . . . . . 6 (((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0)) → if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0), -1, 1))
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0), -1, 1)
10 ancom 461 . . . . . 6 ((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0))
11 ifbi 4484 . . . . . 6 (((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0)) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0), -1, 1))
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5 if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0), -1, 1)
139, 12oveq12i 7157 . . . 4 (if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = (if((𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0), -1, 1) · if((𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0), -1, 1))
143, 6, 133eqtr4g 2878 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → if(((𝑀 · 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = (if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)))
15 simpl2 1184 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
16 simpl3 1185 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
1715, 16zmulcld 12081 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
1815zcnd 12076 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
1916zcnd 12076 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
20 simprl 767 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ≠ 0)
21 simprr 769 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ≠ 0)
2218, 19, 20, 21mulne0d 11280 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
23 nnabscl 14673 . . . . . . 7 (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
2417, 22, 23syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
25 nnuz 12269 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
2624, 25eleqtrdi 2920 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ (ℤ‘1))
27 simpl1 1183 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℤ)
28 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
2928lgsfcl3 25821 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)):ℕ⟶ℤ)
3027, 15, 20, 29syl3anc 1363 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)):ℕ⟶ℤ)
31 elfznn 12924 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ)
32 ffvelrn 6841 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)):ℕ⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
3330, 31, 32syl2an 595 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
3433zcnd 12076 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))‘𝑘) ∈ ℂ)
35 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
3635lgsfcl3 25821 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
3727, 16, 21, 36syl3anc 1363 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
38 ffvelrn 6841 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
3937, 31, 38syl2an 595 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
4039zcnd 12076 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℂ)
41 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
4215ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4320ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ≠ 0)
4416ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4521ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑁 ≠ 0)
46 pcmul 16176 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑘 pCnt 𝑀) + (𝑘 pCnt 𝑁)))
4741, 42, 43, 44, 45, 46syl122anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑘 pCnt 𝑀) + (𝑘 pCnt 𝑁)))
4847oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))) = ((𝐴 /L 𝑘)↑((𝑘 pCnt 𝑀) + (𝑘 pCnt 𝑁))))
4927ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
50 prmz 16007 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℤ)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℤ)
52 lgscl 25814 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
5349, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
5453zcnd 12076 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℂ)
55 pczcl 16173 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
5641, 44, 45, 55syl12anc 832 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
57 pczcl 16173 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝑘 pCnt 𝑀) ∈ ℕ0)
5841, 42, 43, 57syl12anc 832 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑀) ∈ ℕ0)
5954, 56, 58expaddd 13500 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑((𝑘 pCnt 𝑀) + (𝑘 pCnt 𝑁))) = (((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) · ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁))))
6048, 59eqtrd 2853 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))) = (((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) · ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁))))
61 iftrue 4469 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1) = ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))))
6261adantl 482 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1) = ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))))
63 iftrue 4469 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) = ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)))
64 iftrue 4469 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
6563, 64oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℙ → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = (((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) · ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁))))
6665adantl 482 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = (((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) · ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁))))
6760, 62, 663eqtr4rd 2864 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1))
68 1t1e1 11787 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
69 iffalse 4472 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) = 1)
70 iffalse 4472 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = 1)
7169, 70oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ ℙ → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = (1 · 1))
72 iffalse 4472 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1) = 1)
7368, 71, 723eqtr4a 2879 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ℙ → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1))
7473adantl 482 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1))
7567, 74pm2.61dan 809 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1))
7631adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
77 eleq1w 2892 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
78 oveq2 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 /L 𝑛) = (𝐴 /L 𝑘))
79 oveq1 7152 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 pCnt 𝑀) = (𝑘 pCnt 𝑀))
8078, 79oveq12d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)))
8177, 80ifbieq1d 4486 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
82 ovex 7178 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) ∈ V
83 1ex 10625 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
8482, 83ifex 4511 . . . . . . . . 9 if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) ∈ V
8581, 28, 84fvmpt 6761 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
86 oveq1 7152 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑘 pCnt 𝑁))
8778, 86oveq12d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
8877, 87ifbieq1d 4486 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
89 ovex 7178 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ V
9089, 83ifex 4511 . . . . . . . . 9 if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) ∈ V
9188, 35, 90fvmpt 6761 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
9285, 91oveq12d 7163 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘)) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
9376, 92syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘)) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
94 oveq1 7152 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁)) = (𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁)))
9578, 94oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))) = ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))))
9677, 95ifbieq1d 4486 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1))
97 eqid 2818 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1))
98 ovex 7178 . . . . . . . . 9 ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))) ∈ V
9998, 83ifex 4511 . . . . . . . 8 if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1) ∈ V
10096, 97, 99fvmpt 6761 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1))
10176, 100syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1))
10275, 93, 1013eqtr4rd 2864 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘)))
10326, 34, 40, 102prodfmul 15234 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁)))))
10427, 15, 16, 20, 21, 28lgsdilem2 25836 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))))
10527, 16, 15, 21, 20, 35lgsdilem2 25836 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘(𝑁 · 𝑀))))
10618, 19mulcomd 10650 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
107106fveq2d 6667 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = (abs‘(𝑁 · 𝑀)))
108107fveq2d 6667 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘(𝑁 · 𝑀))))
109105, 108eqtr4d 2856 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))))
110104, 109oveq12d 7163 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁)))))
111103, 110eqtr4d 2856 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
11214, 111oveq12d 7163 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (if(((𝑀 · 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) = ((if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) · ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
11397lgsval4 25820 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = (if(((𝑀 · 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁)))))
11427, 17, 22, 113syl3anc 1363 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = (if(((𝑀 · 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁)))))
11528lgsval4 25820 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑀) = (if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀))))
11627, 15, 20, 115syl3anc 1363 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L 𝑀) = (if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀))))
11735lgsval4 25820 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
11827, 16, 21, 117syl3anc 1363 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
119116, 118oveq12d 7163 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)) = ((if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀))) · (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
120 neg1cn 11739 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
121 ax-1cn 10583 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
122120, 121ifcli 4509 . . . . 5 if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℂ
123122a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℂ)
124 nnabscl 14673 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
12515, 20, 124syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
126125, 25eleqtrdi 2920 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (abs‘𝑀) ∈ (ℤ‘1))
127 elfznn 12924 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
12830, 127, 32syl2an 595 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑀))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
129128zcnd 12076 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑀))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))‘𝑘) ∈ ℂ)
130 mulcl 10609 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
131130adantl 482 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
132126, 129, 131seqcl 13378 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀)) ∈ ℂ)
133120, 121ifcli 4509 . . . . 5 if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℂ
134133a1i 11 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℂ)
135 nnabscl 14673 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
13616, 21, 135syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
137136, 25eleqtrdi 2920 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (abs‘𝑁) ∈ (ℤ‘1))
138 elfznn 12924 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
13937, 138, 38syl2an 595 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑁))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
140139zcnd 12076 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑁))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℂ)
141137, 140, 131seqcl 13378 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℂ)
142123, 132, 134, 141mul4d 10840 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀))) · (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))) = ((if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) · ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
143119, 142eqtrd 2853 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)) = ((if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) · ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
144112, 114, 1433eqtr4d 2863 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  -cneg 10859  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880  seqcseq 13357  cexp 13417  abscabs 14581  cprime 16003   pCnt cpc 16161   /L clgs 25797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-phi 16091  df-pc 16162  df-lgs 25798
This theorem is referenced by:  lgssq2  25841  lgsdinn0  25848  lgsquad2lem1  25887
  Copyright terms: Public domain W3C validator