MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdinn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdinn0 25115
Description: Variation on lgsdi 25104 valid for all 𝑀, 𝑁 but only for positive 𝐴. (The exact location of the failure of this law is for 𝐴 = -1, 𝑀 = 0, and some 𝑁 in which case (-1 /L 0) = 1 but (-1 /L 𝑁) = -1 when -1 is not a quadratic residue mod 𝑁.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
lgsdinn0 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsdinn0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1083 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 sq1 12998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1↑2) = 1
32eqeq2i 2663 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ (𝐴↑2) = 1)
4 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
5 nn0ge0 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
6 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
7 0le1 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ≤ 1
8 sq11 12976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
96, 7, 8mpanr12 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
104, 5, 9syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
123, 11syl5bbr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) = 1 ↔ 𝐴 = 1))
1312biimpa 500 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 = 1)
1413oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 𝑥) = (1 /L 𝑥))
15 1lgs 25110 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℤ → (1 /L 𝑥) = 1)
1615ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (1 /L 𝑥) = 1)
1714, 16eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 𝑥) = 1)
1817oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = (1 · (𝐴 /L 0)))
19 nn0z 11438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
2019ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
21 0z 11426 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
22 lgscl 25081 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) ∈ ℤ)
2320, 21, 22sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 0) ∈ ℤ)
2423zcnd 11521 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 0) ∈ ℂ)
2524mulid2d 10096 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (1 · (𝐴 /L 0)) = (𝐴 /L 0))
2618, 25eqtr2d 2686 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
27 lgscl 25081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℤ)
2819, 27sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℤ)
2928zcnd 11521 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℂ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℂ)
3130mul01d 10273 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → ((𝐴 /L 𝑥) · 0) = 0)
3219adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
33 lgs0 25080 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
35 ifnefalse 4131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴↑2) ≠ 1 → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 0)
3634, 35sylan9eq 2705 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → (𝐴 /L 0) = 0)
3736oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = ((𝐴 /L 𝑥) · 0))
3831, 37, 363eqtr4rd 2696 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
3926, 38pm2.61dane 2910 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
4039ralrimiva 2995 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ℤ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
41403ad2ant1 1102 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑥 ∈ ℤ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
42 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 /L 𝑥) = (𝐴 /L 𝑁))
4342oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
4443eqeq2d 2661 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) ↔ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0))))
4544rspcv 3336 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0))))
461, 41, 45sylc 65 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
4746adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
48193ad2ant1 1102 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4948, 21, 22sylancl 695 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) ∈ ℤ)
5049zcnd 11521 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) ∈ ℂ)
5150adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 0) ∈ ℂ)
52 lgscl 25081 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
5348, 1, 52syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
5453zcnd 11521 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
5554adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
5651, 55mulcomd 10099 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐴 /L 0) · (𝐴 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
5747, 56eqtr4d 2688 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 0) · (𝐴 /L 𝑁)))
58 oveq1 6697 . . . . 5 (𝑀 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
591zcnd 11521 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
6059mul02d 10272 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · 𝑁) = 0)
6158, 60sylan9eqr 2707 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑁) = 0)
6261oveq2d 6706 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = (𝐴 /L 0))
63 simpr 476 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
6463oveq2d 6706 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 𝑀) = (𝐴 /L 0))
6564oveq1d 6705 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 0) · (𝐴 /L 𝑁)))
6657, 62, 653eqtr4d 2695 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
67 simp2 1082 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
68 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀 → (𝐴 /L 𝑥) = (𝐴 /L 𝑀))
6968oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
7069eqeq2d 2661 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) ↔ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0))))
7170rspcv 3336 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0))))
7267, 41, 71sylc 65 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
7372adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
74 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
7567zcnd 11521 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
7675mul01d 10273 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 0) = 0)
7774, 76sylan9eqr 2707 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 · 𝑁) = 0)
7877oveq2d 6706 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = (𝐴 /L 0))
79 simpr 476 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
8079oveq2d 6706 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (𝐴 /L 0))
8180oveq2d 6706 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
8273, 78, 813eqtr4d 2695 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
83 lgsdi 25104 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
8419, 83syl3anl1 1414 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
8566, 82, 84pm2.61da2ne 2911 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  ifcif 4119   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  cle 10113  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cexp 12900   /L clgs 25064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-phi 15518  df-pc 15589  df-lgs 25065
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator