MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdir2lem2 25221
Description: Lemma for lgsdir2 25225. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdir2lem2.1 (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝐾 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))
lgsdir2lem2.2 𝑀 = (𝐾 + 1)
lgsdir2lem2.3 𝑁 = (𝑀 + 1)
lgsdir2lem2.4 𝑁𝑆
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem2 (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝑁 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem lgsdir2lem2
StepHypRef Expression
1 lgsdir2lem2.3 . . 3 𝑁 = (𝑀 + 1)
2 lgsdir2lem2.2 . . . . 5 𝑀 = (𝐾 + 1)
3 lgsdir2lem2.1 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝐾 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))
43simp1i 1131 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℤ
5 peano2z 11581 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 (𝐾 + 1) ∈ ℤ
72, 6eqeltri 2823 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ
8 peano2z 11581 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
97, 8ax-mp 5 . . 3 (𝑀 + 1) ∈ ℤ
101, 9eqeltri 2823 . 2 𝑁 ∈ ℤ
113simp2i 1132 . . . 4 2 ∥ (𝐾 + 1)
12 2z 11572 . . . . 5 2 ∈ ℤ
13 dvdsadd 15197 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1))))
1412, 6, 13mp2an 710 . . . 4 (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1)))
1511, 14mpbi 220 . . 3 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1))
16 zcn 11545 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
174, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ ℂ
18 ax-1cn 10157 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
1917, 18addcomi 10390 . . . . . . . . 9 (𝐾 + 1) = (1 + 𝐾)
202, 19eqtri 2770 . . . . . . . 8 𝑀 = (1 + 𝐾)
2120oveq1i 6811 . . . . . . 7 (𝑀 + 1) = ((1 + 𝐾) + 1)
221, 21eqtri 2770 . . . . . 6 𝑁 = ((1 + 𝐾) + 1)
23 df-2 11242 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
2423oveq1i 6811 . . . . . . 7 (2 + 𝐾) = ((1 + 1) + 𝐾)
2518, 17, 18add32i 10422 . . . . . . 7 ((1 + 𝐾) + 1) = ((1 + 1) + 𝐾)
2624, 25eqtr4i 2773 . . . . . 6 (2 + 𝐾) = ((1 + 𝐾) + 1)
2722, 26eqtr4i 2773 . . . . 5 𝑁 = (2 + 𝐾)
2827oveq1i 6811 . . . 4 (𝑁 + 1) = ((2 + 𝐾) + 1)
29 2cn 11254 . . . . 5 2 ∈ ℂ
3029, 17, 18addassi 10211 . . . 4 ((2 + 𝐾) + 1) = (2 + (𝐾 + 1))
3128, 30eqtri 2770 . . 3 (𝑁 + 1) = (2 + (𝐾 + 1))
3215, 31breqtrri 4819 . 2 2 ∥ (𝑁 + 1)
33 elfzuz2 12510 . . . . 5 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
34 fzm1 12584 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁)))
3533, 34syl 17 . . . 4 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁)))
3635ibi 256 . . 3 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁))
37 elfzuz2 12510 . . . . . . . 8 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
38 fzm1 12584 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀)))
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀)))
4039ibi 256 . . . . . 6 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀))
41 zcn 11545 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
4210, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℂ
43 zcn 11545 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
447, 43ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℂ
4518, 44addcomi 10390 . . . . . . . . 9 (1 + 𝑀) = (𝑀 + 1)
4645, 1eqtr4i 2773 . . . . . . . 8 (1 + 𝑀) = 𝑁
4742, 18, 44, 46subaddrii 10533 . . . . . . 7 (𝑁 − 1) = 𝑀
4847oveq2i 6812 . . . . . 6 (0...(𝑁 − 1)) = (0...𝑀)
4940, 48eleq2s 2845 . . . . 5 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀))
5020eqcomi 2757 . . . . . . . . . 10 (1 + 𝐾) = 𝑀
5144, 18, 17, 50subaddrii 10533 . . . . . . . . 9 (𝑀 − 1) = 𝐾
5251oveq2i 6812 . . . . . . . 8 (0...(𝑀 − 1)) = (0...𝐾)
5352eleq2i 2819 . . . . . . 7 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ↔ (𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾))
543simp3i 1133 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
5553, 54syl5bi 232 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
56 2nn 11348 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
57 8nn 11354 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ
58 4z 11574 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
59 dvdsmul2 15177 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (4 · 2))
6058, 12, 59mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∥ (4 · 2)
61 4t2e8 11344 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · 2) = 8
6260, 61breqtri 4817 . . . . . . . . . . . 12 2 ∥ 8
63 dvdsmod 15223 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℕ ∧ 8 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 8) → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
6462, 63mpan2 709 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 8 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
6556, 57, 64mp3an12 1551 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
6665notbid 307 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ ¬ 2 ∥ 𝐴))
6766biimpar 503 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ¬ 2 ∥ (𝐴 mod 8))
6811, 2breqtrri 4819 . . . . . . . . 9 2 ∥ 𝑀
69 id 22 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → (𝐴 mod 8) = 𝑀)
7068, 69syl5breqr 4830 . . . . . . . 8 ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → 2 ∥ (𝐴 mod 8))
7167, 70nsyl 135 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ¬ (𝐴 mod 8) = 𝑀)
7271pm2.21d 118 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
7355, 72jaod 394 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
7449, 73syl5 34 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
75 lgsdir2lem2.4 . . . . . 6 𝑁𝑆
76 eleq1 2815 . . . . . 6 ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → ((𝐴 mod 8) ∈ 𝑆𝑁𝑆))
7775, 76mpbiri 248 . . . . 5 ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)
7877a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
7974, 78jaod 394 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
8036, 79syl5 34 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
8110, 32, 803pm3.2i 1400 1 (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝑁 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127   class class class wbr 4792  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   · cmul 10104  cmin 10429  cn 11183  2c2 11233  4c4 11235  8c8 11239  cz 11540  cuz 11850  ...cfz 12490   mod cmo 12833  cdvds 15153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-fz 12491  df-fl 12758  df-mod 12834  df-dvds 15154
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem3  25222
  Copyright terms: Public domain W3C validator