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Theorem lgsdir2lem4 25244
Description: Lemma for lgsdir2 25246. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem lgsdir2lem4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6833 . . 3 (𝐴 mod 8) ∈ V
21elpr 4335 . 2 ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
3 zre 11565 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
43ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 1red 10239 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 1 ∈ ℝ)
6 simplr 809 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐵 ∈ ℤ)
7 8re 11289 . . . . . . . 8 8 ∈ ℝ
8 8pos 11305 . . . . . . . 8 0 < 8
97, 8elrpii 12020 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ+
109a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 8 ∈ ℝ+)
11 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (𝐴 mod 8) = 1)
12 lgsdir2lem1 25241 . . . . . . . . 9 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
1312simpli 476 . . . . . . . 8 ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
1413simpli 476 . . . . . . 7 (1 mod 8) = 1
1511, 14syl6eqr 2804 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (𝐴 mod 8) = (1 mod 8))
16 modmul1 12909 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 8) = (1 mod 8)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((1 · 𝐵) mod 8))
174, 5, 6, 10, 15, 16syl221anc 1484 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((1 · 𝐵) mod 8))
18 zcn 11566 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
1918ad2antlr 765 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
2019mulid2d 10242 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
2120oveq1d 6820 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((1 · 𝐵) mod 8) = (𝐵 mod 8))
2217, 21eqtrd 2786 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (𝐵 mod 8))
2322eleq1d 2816 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
243ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐴 ∈ ℝ)
25 neg1rr 11309 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℝ)
27 simplr 809 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐵 ∈ ℤ)
289a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 8 ∈ ℝ+)
29 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (𝐴 mod 8) = 7)
3013simpri 481 . . . . . . . 8 (-1 mod 8) = 7
3129, 30syl6eqr 2804 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (𝐴 mod 8) = (-1 mod 8))
32 modmul1 12909 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 8) = (-1 mod 8)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-1 · 𝐵) mod 8))
3324, 26, 27, 28, 31, 32syl221anc 1484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-1 · 𝐵) mod 8))
3418ad2antlr 765 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐵 ∈ ℂ)
3534mulm1d 10666 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
3635oveq1d 6820 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((-1 · 𝐵) mod 8) = (-𝐵 mod 8))
3733, 36eqtrd 2786 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-𝐵 mod 8))
3837eleq1d 2816 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
39 znegcl 11596 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
40 oveq1 6812 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -𝐵 → (𝑥 mod 8) = (-𝐵 mod 8))
4140eleq1d 2816 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝐵 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
42 negeq 10457 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -𝐵 → -𝑥 = --𝐵)
4342oveq1d 6820 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -𝐵 → (-𝑥 mod 8) = (--𝐵 mod 8))
4443eleq1d 2816 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝐵 → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
4541, 44imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -𝐵 → (((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
46 zcn 11566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
47 neg1cn 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℂ
48 mulcom 10206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑥 · -1) = (-1 · 𝑥))
4947, 48mpan2 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · -1) = (-1 · 𝑥))
50 mulm1 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
5149, 50eqtrd 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · -1) = -𝑥)
5246, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · -1) = -𝑥)
5352adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 · -1) = -𝑥)
5453oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ((𝑥 · -1) mod 8) = (-𝑥 mod 8))
55 zre 11565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
5655adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 𝑥 ∈ ℝ)
57 1red 10239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 1 ∈ ℝ)
58 neg1z 11597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℤ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → -1 ∈ ℤ)
609a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 8 ∈ ℝ+)
61 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 mod 8) = 1)
6261, 14syl6eqr 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 mod 8) = (1 mod 8))
63 modmul1 12909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (-1 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 mod 8) = (1 mod 8)) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
6456, 57, 59, 60, 62, 63syl221anc 1484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
6554, 64eqtr3d 2788 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (-𝑥 mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
6647mulid2i 10227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · -1) = -1
6766oveq1i 6815 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · -1) mod 8) = (-1 mod 8)
6867, 30eqtri 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · -1) mod 8) = 7
6965, 68syl6eq 2802 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (-𝑥 mod 8) = 7)
7069ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) = 1 → (-𝑥 mod 8) = 7))
7152adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 · -1) = -𝑥)
7271oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ((𝑥 · -1) mod 8) = (-𝑥 mod 8))
7355adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 𝑥 ∈ ℝ)
7425a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℝ)
7558a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℤ)
769a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 8 ∈ ℝ+)
77 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 mod 8) = 7)
7877, 30syl6eqr 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 mod 8) = (-1 mod 8))
79 modmul1 12909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) ∧ (-1 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 mod 8) = (-1 mod 8)) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
8073, 74, 75, 76, 78, 79syl221anc 1484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
8172, 80eqtr3d 2788 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (-𝑥 mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
82 neg1mulneg1e1 11429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · -1) = 1
8382oveq1i 6815 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-1 · -1) mod 8) = (1 mod 8)
8483, 14eqtri 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 · -1) mod 8) = 1
8581, 84syl6eq 2802 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (-𝑥 mod 8) = 1)
8685ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) = 7 → (-𝑥 mod 8) = 1))
8770, 86orim12d 919 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → (((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7) → ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1)))
88 ovex 6833 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 mod 8) ∈ V
8988elpr 4335 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7))
90 ovex 6833 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑥 mod 8) ∈ V
9190elpr 4335 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((-𝑥 mod 8) = 1 ∨ (-𝑥 mod 8) = 7))
92 orcom 401 . . . . . . . . . . 11 (((-𝑥 mod 8) = 1 ∨ (-𝑥 mod 8) = 7) ↔ ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1))
9391, 92bitri 264 . . . . . . . . . 10 ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1))
9487, 89, 933imtr4g 285 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}))
9545, 94vtoclga 3404 . . . . . . . 8 (-𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
9639, 95syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
9718negnegd 10567 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → --𝐵 = 𝐵)
9897oveq1d 6820 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → (--𝐵 mod 8) = (𝐵 mod 8))
9998eleq1d 2816 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → ((--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
10096, 99sylibd 229 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
101 oveq1 6812 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 mod 8) = (𝐵 mod 8))
102101eleq1d 2816 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
103 negeq 10457 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → -𝑥 = -𝐵)
104103oveq1d 6820 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (-𝑥 mod 8) = (-𝐵 mod 8))
105104eleq1d 2816 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
106102, 105imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
107106, 94vtoclga 3404 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
108100, 107impbid 202 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
109108ad2antlr 765 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
11038, 109bitrd 268 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
11123, 110jaodan 861 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
1122, 111sylan2b 493 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  {cpr 4315  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119  1c1 10121   · cmul 10125  -cneg 10451  3c3 11255  5c5 11257  7c7 11259  8c8 11260  cz 11561  +crp 12017   mod cmo 12854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fl 12779  df-mod 12855
This theorem is referenced by:  lgsdir2  25246
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