Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsle1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsle1 25082
 Description: The Legendre symbol has absolute value less or equal to 1. Together with lgscl 25081 this implies that it takes values in {-1, 0, 1}. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsle1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≤ 1)

Proof of Theorem lgsle1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . 3 {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
21lgscl2 25079 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
3 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑥 = (𝐴 /L 𝑁) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐴 /L 𝑁)))
43breq1d 4695 . . . 4 (𝑥 = (𝐴 /L 𝑁) → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≤ 1))
54elrab 3396 . . 3 ((𝐴 /L 𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} ↔ ((𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≤ 1))
65simprbi 479 . 2 ((𝐴 /L 𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≤ 1)
72, 6syl 17 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≤ 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {crab 2945   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975   ≤ cle 10113  ℤcz 11415  abscabs 14018   /L clgs 25064 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-phi 15518  df-pc 15589  df-lgs 25065 This theorem is referenced by:  lgscl1  25090  lgsdirprm  25101  lgsabs1  25106
 Copyright terms: Public domain W3C validator