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Theorem lgslem1 25067
 Description: When 𝑎 is coprime to the prime 𝑝, 𝑎↑((𝑝 − 1) / 2) is equivalent mod 𝑝 to 1 or -1, and so adding 1 makes it equivalent to 0 or 2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgslem1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2})

Proof of Theorem lgslem1
StepHypRef Expression
1 eldifi 3765 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
213ad2ant2 1103 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℙ)
3 prmnn 15435 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℕ)
5 simp1 1081 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
6 prmz 15436 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
72, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℤ)
8 gcdcom 15282 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝐴))
95, 7, 8syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝐴))
10 simp3 1083 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ¬ 𝑃𝐴)
11 coprm 15470 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
122, 5, 11syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (¬ 𝑃𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
1310, 12mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 gcd 𝐴) = 1)
149, 13eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = 1)
15 eulerth 15535 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
164, 5, 14, 15syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
17 phiprm 15529 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
182, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
19 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
204, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2118, 20eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0)
22 zexpcl 12915 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
235, 21, 22syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
24 1zzd 11446 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 1 ∈ ℤ)
25 moddvds 15038 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1)))
264, 23, 24, 25syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1)))
2716, 26mpbid 222 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1))
2820nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
29 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 2 ∈ ℂ)
30 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 2 ≠ 0)
3228, 29, 31divcan1d 10840 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
3318, 32eqtr4d 2688 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (ϕ‘𝑃) = (((𝑃 − 1) / 2) · 2))
3433oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = (𝐴↑(((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
355zcnd 11521 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
36 2nn0 11347 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 2 ∈ ℕ0)
38 oddprm 15562 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
39383ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
4039nnnn0d 11389 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
4135, 37, 40expmuld 13051 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(((𝑃 − 1) / 2) · 2)) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
4234, 41eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
4342oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − 1))
44 sq1 12998 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
4544oveq2i 6701 . . . . . . 7 (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − (1↑2)) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − 1)
4643, 45syl6eqr 2703 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − (1↑2)))
47 zexpcl 12915 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
485, 40, 47syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
4948zcnd 11521 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
50 ax-1cn 10032 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
51 subsq 13012 . . . . . . 7 (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − (1↑2)) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
5249, 50, 51sylancl 695 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − (1↑2)) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
5346, 52eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
5427, 53breqtrd 4711 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
5548peano2zd 11523 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
56 peano2zm 11458 . . . . . 6 ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ∈ ℤ)
5748, 56syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ∈ ℤ)
58 euclemma 15472 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))))
592, 55, 57, 58syl3anc 1366 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))))
6054, 59mpbid 222 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
61 dvdsval3 15031 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ↔ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0))
624, 55, 61syl2anc 694 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ↔ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0))
63 2z 11447 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
6463a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 2 ∈ ℤ)
65 moddvds 15038 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = (2 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 2)))
664, 55, 64, 65syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = (2 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 2)))
67 2re 11128 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
6867a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 2 ∈ ℝ)
694nnrpd 11908 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ+)
70 0le2 11149 . . . . . . . 8 0 ≤ 2
7170a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 0 ≤ 2)
72 prmuz2 15455 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
732, 72syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
74 eluzle 11738 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑃)
7573, 74syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 2 ≤ 𝑃)
76 eldifsni 4353 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
77763ad2ant2 1103 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ≠ 2)
784nnred 11073 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
7968, 78ltlend 10220 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (2 < 𝑃 ↔ (2 ≤ 𝑃𝑃 ≠ 2)))
8075, 77, 79mpbir2and 977 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 2 < 𝑃)
81 modid 12735 . . . . . . 7 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 𝑃)) → (2 mod 𝑃) = 2)
8268, 69, 71, 80, 81syl22anc 1367 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (2 mod 𝑃) = 2)
8382eqeq2d 2661 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = (2 mod 𝑃) ↔ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2))
84 df-2 11117 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
8584oveq2i 6701 . . . . . . 7 (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 2) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − (1 + 1))
8650a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 1 ∈ ℂ)
8749, 86, 86pnpcan2d 10468 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − (1 + 1)) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))
8885, 87syl5eq 2697 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 2) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))
8988breq2d 4697 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 2) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
9066, 83, 893bitr3rd 299 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ↔ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2))
9162, 90orbi12d 746 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)) ↔ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2)))
9260, 91mpbid 222 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2))
93 ovex 6718 . . 3 (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ V
9493elpr 4231 . 2 ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2} ↔ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2))
9592, 94sylibr 224 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∖ cdif 3604  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ℝ+crp 11870   mod cmo 12708  ↑cexp 12900   ∥ cdvds 15027   gcd cgcd 15263  ℙcprime 15432  ϕcphi 15516 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-phi 15518 This theorem is referenced by:  lgslem4  25070
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