MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsmulsqcoprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsmulsqcoprm 25113
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under multiplication with a square of an integer coprime to the second argument. Theorem 9.9(d) in [ApostolNT] p. 188. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
lgsmulsqcoprm (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝐴↑2) · 𝐵) /L 𝑁) = (𝐵 /L 𝑁))

Proof of Theorem lgsmulsqcoprm
StepHypRef Expression
1 zsqcl 12974 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
21adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
3 simpl 472 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
4 simpl 472 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
52, 3, 43anim123i 1266 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6 zcn 11420 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
7 sqne0 12970 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
98biimpar 501 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ≠ 0)
10 simpr 476 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
119, 10anim12i 589 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴↑2) ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
12113adant3 1101 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴↑2) ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
13 lgsdir 25102 . . 3 ((((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴↑2) ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐴↑2) · 𝐵) /L 𝑁) = (((𝐴↑2) /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
145, 12, 13syl2anc 694 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝐴↑2) · 𝐵) /L 𝑁) = (((𝐴↑2) /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
15 3anass 1059 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)))
1615biimpri 218 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
17163adant2 1100 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
18 lgssq 25107 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑2) /L 𝑁) = 1)
1917, 18syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴↑2) /L 𝑁) = 1)
2019oveq1d 6705 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝐴↑2) /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = (1 · (𝐵 /L 𝑁)))
213, 4anim12i 589 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
22213adant1 1099 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
23 lgscl 25081 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
2422, 23syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
2524zcnd 11521 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℂ)
2625mulid2d 10096 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (1 · (𝐵 /L 𝑁)) = (𝐵 /L 𝑁))
2714, 20, 263eqtrd 2689 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝐴↑2) · 𝐵) /L 𝑁) = (𝐵 /L 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  2c2 11108  cz 11415  cexp 12900   gcd cgcd 15263   /L clgs 25064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-phi 15518  df-pc 15589  df-lgs 25065
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator