MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsneg1 24981
Description: The Legendre symbol for nonnegative first parameter is unchanged by negation of the second. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsneg1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))

Proof of Theorem lgsneg1
StepHypRef Expression
1 neg0 10287 . . . 4 -0 = 0
2 simpr 477 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
32negeqd 10235 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = -0)
41, 3, 23eqtr4a 2681 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = 𝑁)
54oveq2d 6631 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
6 nn0z 11360 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
7 lgsneg 24980 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)))
86, 7syl3an1 1356 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)))
9 nn0nlt0 11279 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐴 < 0)
1093ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ¬ 𝐴 < 0)
1110iffalsed 4075 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
1211oveq1d 6630 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)) = (1 · (𝐴 /L 𝑁)))
1363ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
14 simp2 1060 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
15 lgscl 24970 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
1613, 14, 15syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
1716zcnd 11443 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
1817mulid2d 10018 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (1 · (𝐴 /L 𝑁)) = (𝐴 /L 𝑁))
198, 12, 183eqtrd 2659 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
20193expa 1262 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
215, 20pm2.61dane 2877 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  ifcif 4064   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  0cc0 9896  1c1 9897   · cmul 9901   < clt 10034  -cneg 10227  0cn0 11252  cz 11337   /L clgs 24953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-dvds 14927  df-gcd 15160  df-prm 15329  df-phi 15414  df-pc 15485  df-lgs 24954
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator