Theorem lgsquad 25953

Description: The Law of Quadratic Reciprocity, see also theorem 9.8 in [ApostolNT] p. 185. If 𝑃 and 𝑄 are distinct odd primes, then the product of the Legendre symbols (𝑃 /_L 𝑄) and (𝑄 /_L 𝑃) is the parity of ((𝑃 − 1) / 2) · ((𝑄 − 1) / 2). This uses Eisenstein's proof, which also has a nice geometric interpretation - see https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_quadratic_reciprocity. This is Metamath 100 proof #7. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsquad	⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ((𝑃 /L 𝑄) · (𝑄 /L 𝑃)) = (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) · ((𝑄 − 1) / 2))))

Proof of Theorem lgsquad

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1132	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		simp2 1133	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		simp3 1134	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ≠ 𝑄)
4		eqid 2821	. 2 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 − 1) / 2)
5		eqid 2821	. 2 ⊢ ((𝑄 − 1) / 2) = ((𝑄 − 1) / 2)
6		eleq1w 2895	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
7		eleq1w 2895	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2)) ↔ 𝑤 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))))
8	6, 7	bi2anan9 637	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ↔ (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2)))))
9		oveq1 7157	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 · 𝑃) = (𝑤 · 𝑃))
10		oveq1 7157	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑄) = (𝑧 · 𝑄))
11	9, 10	breqan12rd 5075	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄) ↔ (𝑤 · 𝑃) < (𝑧 · 𝑄)))
12	8, 11	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) → (((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ ((𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ∧ (𝑤 · 𝑃) < (𝑧 · 𝑄))))
13	12	cbvopabv 5130	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ ((𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ∧ (𝑤 · 𝑃) < (𝑧 · 𝑄))}
14	1, 2, 3, 4, 5, 13	lgsquadlem3 25952	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ((𝑃 /L 𝑄) · (𝑄 /L 𝑃)) = (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) · ((𝑄 − 1) / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3932  {csn 4560   class class class wbr 5058  {copab 5120  (class class class)co 7150  1c1 10532   · cmul 10536   < clt 10669   − cmin 10864  -cneg 10865   / cdiv 11291  2c2 11686  ...cfz 12886  ↑cexp 13423  ℙcprime 16009   /_L clgs 25864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-disj 5024  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-ec 8285  df-qs 8289  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-dvds 15602  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-phi 16097  df-pc 16168  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-imas 16775  df-qus 16776  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-nsg 18271  df-eqg 18272  df-ghm 18350  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-rnghom 19461  df-drng 19498  df-field 19499  df-subrg 19527  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-lidl 19940  df-rsp 19941  df-2idl 19999  df-nzr 20025  df-rlreg 20050  df-domn 20051  df-idom 20052  df-cnfld 20540  df-zring 20612  df-zrh 20645  df-zn 20648  df-lgs 25865

This theorem is referenced by:  lgsquad2  25956