MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgssq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgssq2 24958
Description: The Legendre symbol at a square is equal to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgssq2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L (𝑁↑2)) = 1)

Proof of Theorem lgssq2
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 nnz 11344 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
323ad2ant2 1081 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 nnne0 10998 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
543ad2ant2 1081 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ≠ 0)
6 lgsdi 24954 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L (𝑁 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 𝑁)))
71, 3, 3, 5, 5, 6syl32anc 1331 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L (𝑁 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 𝑁)))
8 nncn 10973 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
983ad2ant2 1081 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℂ)
109sqvald 12942 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
1110oveq2d 6621 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L (𝑁↑2)) = (𝐴 /L (𝑁 · 𝑁)))
12 lgscl 24931 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
131, 3, 12syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
1413zred 11426 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℝ)
15 absresq 13971 . . . 4 ((𝐴 /L 𝑁) ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁))↑2) = ((𝐴 /L 𝑁)↑2))
1614, 15syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁))↑2) = ((𝐴 /L 𝑁)↑2))
17 lgsabs1 24956 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
182, 17sylan2 491 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
1918biimp3ar 1430 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1)
2019oveq1d 6620 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁))↑2) = (1↑2))
21 sq1 12895 . . . 4 (1↑2) = 1
2220, 21syl6eq 2676 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁))↑2) = 1)
2313zcnd 11427 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
2423sqvald 12942 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴 /L 𝑁)↑2) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 𝑁)))
2516, 22, 243eqtr3d 2668 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 1 = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 𝑁)))
267, 11, 253eqtr4d 2670 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L (𝑁↑2)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   · cmul 9886  cn 10965  2c2 11015  cz 11322  cexp 12797  abscabs 13903   gcd cgcd 15135   /L clgs 24914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-xnn0 11309  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903  df-gcd 15136  df-prm 15305  df-phi 15390  df-pc 15461  df-lgs 24915
This theorem is referenced by:  lgs1  24961  lgsquad2lem2  25005
  Copyright terms: Public domain W3C validator