Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhp2at0nle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhp2at0nle 34840
Description: Inequality for 2 different atoms (or an atom and zero) under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 28-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2at0nle.l = (le‘𝐾)
lhp2at0nle.j = (join‘𝐾)
lhp2at0nle.z 0 = (0.‘𝐾)
lhp2at0nle.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2at0nle.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhp2at0nle ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑈))

Proof of Theorem lhp2at0nle
StepHypRef Expression
1 simpl1 1062 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝐴) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉))
2 simpr 477 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝐴) → 𝑈𝐴)
3 simpl2r 1113 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝐴) → 𝑈 𝑊)
4 simpl3 1064 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝐴) → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
5 lhp2at0nle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
6 lhp2at0nle.j . . . 4 = (join‘𝐾)
7 lhp2at0nle.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 lhp2at0nle.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
95, 6, 7, 8lhp2atnle 34838 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑈))
101, 2, 3, 4, 9syl121anc 1328 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝐴) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑈))
11 simp3r 1088 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉 𝑊)
12 simp12r 1173 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ¬ 𝑃 𝑊)
13 nbrne2 4643 . . . . . . 7 ((𝑉 𝑊 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) → 𝑉𝑃)
1411, 12, 13syl2anc 692 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉𝑃)
1514neneqd 2795 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ¬ 𝑉 = 𝑃)
16 simp11l 1170 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
17 hlatl 34166 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝐾 ∈ AtLat)
19 simp3l 1087 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉𝐴)
20 simp12l 1172 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑃𝐴)
215, 7atcmp 34117 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑉𝐴𝑃𝐴) → (𝑉 𝑃𝑉 = 𝑃))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1323 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑉 𝑃𝑉 = 𝑃))
2315, 22mtbird 315 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ¬ 𝑉 𝑃)
2423adantr 481 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈 = 0 ) → ¬ 𝑉 𝑃)
25 oveq2 6623 . . . . 5 (𝑈 = 0 → (𝑃 𝑈) = (𝑃 0 ))
26 hlol 34167 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2716, 26syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
28 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2928, 7atbase 34095 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
3020, 29syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
31 lhp2at0nle.z . . . . . . 7 0 = (0.‘𝐾)
3228, 6, 31olj01 34031 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 0 ) = 𝑃)
3327, 30, 32syl2anc 692 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑃 0 ) = 𝑃)
3425, 33sylan9eqr 2677 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈 = 0 ) → (𝑃 𝑈) = 𝑃)
3534breq2d 4635 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈 = 0 ) → (𝑉 (𝑃 𝑈) ↔ 𝑉 𝑃))
3624, 35mtbird 315 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈 = 0 ) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑈))
37 simp2l 1085 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑈𝐴𝑈 = 0 ))
3810, 36, 37mpjaodan 826 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 = 0 ) ∧ 𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  lecple 15888  joincjn 16884  0.cp0 16977  OLcol 33980  Atomscatm 34069  AtLatcal 34070  HLchlt 34156  LHypclh 34789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-preset 16868  df-poset 16886  df-plt 16898  df-lub 16914  df-glb 16915  df-join 16916  df-meet 16917  df-p0 16979  df-lat 16986  df-clat 17048  df-oposet 33982  df-ol 33984  df-oml 33985  df-covers 34072  df-ats 34073  df-atl 34104  df-cvlat 34128  df-hlat 34157  df-psubsp 34308  df-pmap 34309  df-padd 34601  df-lhyp 34793
This theorem is referenced by:  lhp2at0ne  34841  cdlemkfid1N  35728
  Copyright terms: Public domain W3C validator