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Theorem lhp2lt 34088
Description: The join of two atoms under a co-atom is strictly less than it. (Contributed by NM, 8-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2lt.l = (le‘𝐾)
lhp2lt.s < = (lt‘𝐾)
lhp2lt.j = (join‘𝐾)
lhp2lt.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2lt.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhp2lt (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → (𝑃 𝑄) < 𝑊)

Proof of Theorem lhp2lt
Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2r 1080 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑃 𝑊)
2 simp3r 1082 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑄 𝑊)
3 simp1l 1077 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
4 hllat 33451 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
53, 4syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simp2l 1079 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑃𝐴)
7 eqid 2609 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 lhp2lt.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
97, 8atbase 33377 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
106, 9syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
11 simp3l 1081 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑄𝐴)
127, 8atbase 33377 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
14 simp1r 1078 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑊𝐻)
15 lhp2lt.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
167, 15lhpbase 34085 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1714, 16syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
18 lhp2lt.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
19 lhp2lt.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
207, 18, 19latjle12 16833 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑊𝑄 𝑊) ↔ (𝑃 𝑄) 𝑊))
215, 10, 13, 17, 20syl13anc 1319 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → ((𝑃 𝑊𝑄 𝑊) ↔ (𝑃 𝑄) 𝑊))
221, 2, 21mpbi2and 957 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → (𝑃 𝑄) 𝑊)
2319, 18, 83dim2 33555 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
243, 6, 11, 23syl3anc 1317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
25 simp11l 1164 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝐾 ∈ HL)
26 hlop 33450 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝐾 ∈ OP)
2825, 4syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝐾 ∈ Lat)
29 simp12l 1166 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝑃𝐴)
30 simp13l 1168 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝑄𝐴)
317, 19, 8hlatjcl 33454 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
3225, 29, 30, 31syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
33 simp2l 1079 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝑟𝐴)
347, 8atbase 33377 . . . . . . . . . 10 (𝑟𝐴𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
367, 19latjcl 16822 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
3728, 32, 35, 36syl3anc 1317 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → ((𝑃 𝑄) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
38 simp2r 1080 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝑠𝐴)
397, 8atbase 33377 . . . . . . . . 9 (𝑠𝐴𝑠 ∈ (Base‘𝐾))
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝑠 ∈ (Base‘𝐾))
417, 19latjcl 16822 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠) ∈ (Base‘𝐾))
4228, 37, 40, 41syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → (((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠) ∈ (Base‘𝐾))
43 eqid 2609 . . . . . . . 8 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
44 eqid 2609 . . . . . . . 8 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
457, 43, 44ncvr1 33360 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠) ∈ (Base‘𝐾)) → ¬ (1.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠))
4627, 42, 45syl2anc 690 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → ¬ (1.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠))
47 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
48 simpl1l 1104 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
4948, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
50 simpl2l 1106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑃𝐴)
51 simpl3l 1108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑄𝐴)
5248, 50, 51, 31syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
53 simpr1l 1110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑟𝐴)
5453, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
5549, 52, 54, 36syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
5648, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝐾 ∈ OP)
57 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
587, 47, 57op01dm 33271 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ OP → ((Base‘𝐾) ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ (Base‘𝐾) ∈ dom (glb‘𝐾)))
5958simpld 473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ OP → (Base‘𝐾) ∈ dom (lub‘𝐾))
6056, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (Base‘𝐾) ∈ dom (lub‘𝐾))
617, 47, 18, 43, 48, 55, 60ple1 16815 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) 𝑟) (1.‘𝐾))
62 hlpos 33453 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
6348, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝐾 ∈ Poset)
647, 43op1cl 33273 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
6556, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
66 simpr2l 1112 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → ¬ 𝑟 (𝑃 𝑄))
677, 18, 19, 44, 8cvr1 33497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟𝐴) → (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ (𝑃 𝑄)( ⋖ ‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑟)))
6848, 52, 53, 67syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ (𝑃 𝑄)( ⋖ ‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑟)))
6966, 68mpbid 220 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (𝑃 𝑄)( ⋖ ‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑟))
70 simpr3 1061 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (𝑃 𝑄) = 𝑊)
71 simpl1r 1105 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑊𝐻)
7243, 44, 15lhp1cvr 34086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
7348, 71, 72syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
7470, 73eqbrtrd 4599 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (𝑃 𝑄)( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
757, 18, 44cvrcmp 33371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑃 𝑄)( ⋖ ‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑟) ∧ (𝑃 𝑄)( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))) → (((𝑃 𝑄) 𝑟) (1.‘𝐾) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑟) = (1.‘𝐾)))
7663, 55, 65, 52, 69, 74, 75syl132anc 1335 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (((𝑃 𝑄) 𝑟) (1.‘𝐾) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑟) = (1.‘𝐾)))
7761, 76mpbid 220 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) 𝑟) = (1.‘𝐾))
78 simpr2r 1113 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))
79 simpr1r 1111 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑠𝐴)
807, 18, 19, 44, 8cvr1 33497 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠𝐴) → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠)))
8148, 55, 79, 80syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠)))
8278, 81mpbid 220 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠))
8377, 82eqbrtrrd 4601 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (1.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠))
84833exp2 1276 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → ((𝑟𝐴𝑠𝐴) → ((¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) → ((𝑃 𝑄) = 𝑊 → (1.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠)))))
85843imp 1248 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → ((𝑃 𝑄) = 𝑊 → (1.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠)))
8685necon3bd 2795 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → (¬ (1.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠) → (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊))
8746, 86mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊)
88873exp 1255 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → ((𝑟𝐴𝑠𝐴) → ((¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) → (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊)))
8988rexlimdvv 3018 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) → (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊))
9024, 89mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊)
913, 6, 11, 31syl3anc 1317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
92 lhp2lt.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
9318, 92pltval 16731 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑃 𝑄) < 𝑊 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑊 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊)))
943, 91, 14, 93syl3anc 1317 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) < 𝑊 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑊 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊)))
9522, 90, 94mpbir2and 958 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → (𝑃 𝑄) < 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896   class class class wbr 4577  dom cdm 5027  cfv 5789  (class class class)co 6526  Basecbs 15643  lecple 15723  Posetcpo 16711  ltcplt 16712  lubclub 16713  glbcglb 16714  joincjn 16715  1.cp1 16809  Latclat 16816  OPcops 33260  ccvr 33350  Atomscatm 33351  HLchlt 33438  LHypclh 34071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-preset 16699  df-poset 16717  df-plt 16729  df-lub 16745  df-glb 16746  df-join 16747  df-meet 16748  df-p0 16810  df-p1 16811  df-lat 16817  df-clat 16879  df-oposet 33264  df-ol 33266  df-oml 33267  df-covers 33354  df-ats 33355  df-atl 33386  df-cvlat 33410  df-hlat 33439  df-lhyp 34075
This theorem is referenced by:  lhpexle3lem  34098
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