Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpat3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpat3 35158
Description: There is only one atom under both 𝑃 𝑄 and co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 21-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpat.l = (le‘𝐾)
lhpat.j = (join‘𝐾)
lhpat.m = (meet‘𝐾)
lhpat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lhpat2.r 𝑅 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
lhpat3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → (¬ 𝑆 𝑊𝑆𝑅))

Proof of Theorem lhpat3
StepHypRef Expression
1 simpl3r 1116 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑆 (𝑃 𝑄))
2 simpr 477 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑆 𝑊)
3 simp1ll 1123 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
4 hllat 34476 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simp2r 1087 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑆𝐴)
7 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 lhpat.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
97, 8atbase 34402 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
106, 9syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
11 simp1rl 1125 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝐴)
12 simp2l 1086 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑄𝐴)
13 lhpat.j . . . . . . . . . . 11 = (join‘𝐾)
147, 13, 8hlatjcl 34479 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
153, 11, 12, 14syl3anc 1325 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
16 simp1lr 1124 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑊𝐻)
17 lhpat.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
187, 17lhpbase 35110 . . . . . . . . . 10 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1916, 18syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
20 lhpat.l . . . . . . . . . 10 = (le‘𝐾)
21 lhpat.m . . . . . . . . . 10 = (meet‘𝐾)
227, 20, 21latlem12 17072 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 𝑊) ↔ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
235, 10, 15, 19, 22syl13anc 1327 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 𝑊) ↔ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
2423adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → ((𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 𝑊) ↔ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
251, 2, 24mpbi2and 956 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
26 lhpat2.r . . . . . 6 𝑅 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
2725, 26syl6breqr 4693 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑆 𝑅)
283adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
29 hlatl 34473 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3028, 29syl 17 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝐾 ∈ AtLat)
31 simpl2r 1114 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑆𝐴)
32 simpl1l 1111 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
33 simpl1r 1112 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
34 simpl2l 1113 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑄𝐴)
35 simpl3l 1115 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑃𝑄)
3620, 13, 21, 8, 17, 26lhpat2 35157 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑅𝐴)
3732, 33, 34, 35, 36syl112anc 1329 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑅𝐴)
3820, 8atcmp 34424 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑆𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 𝑅𝑆 = 𝑅))
3930, 31, 37, 38syl3anc 1325 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → (𝑆 𝑅𝑆 = 𝑅))
4027, 39mpbid 222 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑆 = 𝑅)
4140ex 450 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑆 𝑊𝑆 = 𝑅))
427, 20, 21latmle2 17071 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
435, 15, 19, 42syl3anc 1325 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
4426, 43syl5eqbr 4686 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅 𝑊)
45 breq1 4654 . . . 4 (𝑆 = 𝑅 → (𝑆 𝑊𝑅 𝑊))
4644, 45syl5ibrcom 237 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑆 = 𝑅𝑆 𝑊))
4741, 46impbid 202 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑆 𝑊𝑆 = 𝑅))
4847necon3bbid 2830 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → (¬ 𝑆 𝑊𝑆𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793   class class class wbr 4651  cfv 5886  (class class class)co 6647  Basecbs 15851  lecple 15942  joincjn 16938  meetcmee 16939  Latclat 17039  Atomscatm 34376  AtLatcal 34377  HLchlt 34463  LHypclh 35096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-preset 16922  df-poset 16940  df-plt 16952  df-lub 16968  df-glb 16969  df-join 16970  df-meet 16971  df-p0 17033  df-p1 17034  df-lat 17040  df-clat 17102  df-oposet 34289  df-ol 34291  df-oml 34292  df-covers 34379  df-ats 34380  df-atl 34411  df-cvlat 34435  df-hlat 34464  df-lhyp 35100
This theorem is referenced by:  4atexlemntlpq  35180  4atexlemnclw  35182
  Copyright terms: Public domain W3C validator