Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpat3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpat3 37062
Description: There is only one atom under both 𝑃 𝑄 and co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 21-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpat.l = (le‘𝐾)
lhpat.j = (join‘𝐾)
lhpat.m = (meet‘𝐾)
lhpat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lhpat2.r 𝑅 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
lhpat3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → (¬ 𝑆 𝑊𝑆𝑅))

Proof of Theorem lhpat3
StepHypRef Expression
1 simpl3r 1221 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑆 (𝑃 𝑄))
2 simpr 485 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑆 𝑊)
3 simp1ll 1228 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 36380 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp2r 1192 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑆𝐴)
6 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 lhpat.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
86, 7atbase 36305 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
95, 8syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
10 simp1rl 1230 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝐴)
11 simp2l 1191 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑄𝐴)
12 lhpat.j . . . . . . . . . . 11 = (join‘𝐾)
136, 12, 7hlatjcl 36383 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
143, 10, 11, 13syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
15 simp1lr 1229 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑊𝐻)
16 lhpat.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
176, 16lhpbase 37014 . . . . . . . . . 10 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1815, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
19 lhpat.l . . . . . . . . . 10 = (le‘𝐾)
20 lhpat.m . . . . . . . . . 10 = (meet‘𝐾)
216, 19, 20latlem12 17676 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 𝑊) ↔ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
224, 9, 14, 18, 21syl13anc 1364 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 𝑊) ↔ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
2322adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → ((𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 𝑊) ↔ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
241, 2, 23mpbi2and 708 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
25 lhpat2.r . . . . . 6 𝑅 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
2624, 25breqtrrdi 5099 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑆 𝑅)
273adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
28 hlatl 36376 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝐾 ∈ AtLat)
30 simpl2r 1219 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑆𝐴)
31 simpl1l 1216 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
32 simpl1r 1217 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
33 simpl2l 1218 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑄𝐴)
34 simpl3l 1220 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑃𝑄)
3519, 12, 20, 7, 16, 25lhpat2 37061 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑅𝐴)
3631, 32, 33, 34, 35syl112anc 1366 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑅𝐴)
3719, 7atcmp 36327 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑆𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 𝑅𝑆 = 𝑅))
3829, 30, 36, 37syl3anc 1363 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → (𝑆 𝑅𝑆 = 𝑅))
3926, 38mpbid 233 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑆 𝑊) → 𝑆 = 𝑅)
4039ex 413 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑆 𝑊𝑆 = 𝑅))
416, 19, 20latmle2 17675 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
424, 14, 18, 41syl3anc 1363 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
4325, 42eqbrtrid 5092 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅 𝑊)
44 breq1 5060 . . . 4 (𝑆 = 𝑅 → (𝑆 𝑊𝑅 𝑊))
4543, 44syl5ibrcom 248 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑆 = 𝑅𝑆 𝑊))
4640, 45impbid 213 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑆 𝑊𝑆 = 𝑅))
4746necon3bbid 3050 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑆 (𝑃 𝑄))) → (¬ 𝑆 𝑊𝑆𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  joincjn 17542  meetcmee 17543  Latclat 17643  Atomscatm 36279  AtLatcal 36280  HLchlt 36366  LHypclh 37000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-lhyp 37004
This theorem is referenced by:  4atexlemntlpq  37084  4atexlemnclw  37086
  Copyright terms: Public domain W3C validator