Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexle1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpexle1 37024
Description: There exists an atom under a co-atom different from any given element. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l = (le‘𝐾)
lhpex1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpexle1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋))
Distinct variable groups:   ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem lhpexle1
StepHypRef Expression
1 lhpex1.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
2 lhpex1.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 lhpex1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexle 37021 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 𝑝 𝑊)
5 tru 1532 . . . . . 6
65jctr 525 . . . . 5 (𝑝 𝑊 → (𝑝 𝑊 ∧ ⊤))
76reximi 3240 . . . 4 (∃𝑝𝐴 𝑝 𝑊 → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ ⊤))
84, 7syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ ⊤))
9 simpll 763 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
10 simprl 767 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑋𝐴)
11 eqid 2818 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1211, 3lhpbase 37014 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1312ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
14 eqid 2818 . . . . . 6 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
151, 14, 2, 3lhplt 37016 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑊)
1611, 14, 22atlt 36455 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑊) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊))
179, 10, 13, 15, 16syl31anc 1365 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊))
18 simp3r 1194 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑊)
19 simp1ll 1228 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
20 simp2 1129 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝𝐴)
21 simp1lr 1229 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑊𝐻)
221, 14pltle 17559 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑊𝐻) → (𝑝(lt‘𝐾)𝑊𝑝 𝑊))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1363 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → (𝑝(lt‘𝐾)𝑊𝑝 𝑊))
2418, 23mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝 𝑊)
25 trud 1538 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → ⊤)
26 simp3l 1193 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → 𝑝𝑋)
2724, 25, 263jca 1120 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊)) → (𝑝 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝𝑋))
28273expia 1113 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊) → (𝑝 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝𝑋)))
2928reximdva 3271 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → (∃𝑝𝐴 (𝑝𝑋𝑝(lt‘𝐾)𝑊) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝𝑋)))
3017, 29mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝𝑋))
318, 30lhpexle1lem 37023 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝𝑋))
32 3simpb 1141 . . 3 ((𝑝 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝𝑋) → (𝑝 𝑊𝑝𝑋))
3332reximi 3240 . 2 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ ⊤ ∧ 𝑝𝑋) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋))
3431, 33syl 17 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wtru 1529  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136   class class class wbr 5057  cfv 6348  Basecbs 16471  lecple 16560  ltcplt 17539  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LHypclh 37000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-lhyp 37004
This theorem is referenced by:  lhpexle2lem  37025  lhpexle2  37026  lhpex2leN  37029
  Copyright terms: Public domain W3C validator