Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpexle2 35115
Description: There exists atom under a co-atom different from any two other elements. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l = (le‘𝐾)
lhpex1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpexle2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌))
Distinct variable groups:   ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Proof of Theorem lhpexle2
StepHypRef Expression
1 lhpex1.l . . 3 = (le‘𝐾)
2 lhpex1.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 lhpex1.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexle1 35113 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋))
51, 2, 3lhpexle1 35113 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑌))
65adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑌))
71, 2, 3lhpexle2lem 35114 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑌𝑝𝑋))
873expa 1263 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑌𝑝𝑋))
96, 8lhpexle1lem 35112 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑌𝑝𝑋))
10 3ancomb 1045 . . . 4 ((𝑝 𝑊𝑝𝑌𝑝𝑋) ↔ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌))
1110rexbii 3037 . . 3 (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑌𝑝𝑋) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌))
129, 11sylib 208 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌))
134, 12lhpexle1lem 35112 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wrex 2910   class class class wbr 4644  cfv 5876  lecple 15929  Atomscatm 34369  HLchlt 34456  LHypclh 35089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-preset 16909  df-poset 16927  df-plt 16939  df-lub 16955  df-glb 16956  df-join 16957  df-meet 16958  df-p0 17020  df-p1 17021  df-lat 17027  df-clat 17089  df-oposet 34282  df-ol 34284  df-oml 34285  df-covers 34372  df-ats 34373  df-atl 34404  df-cvlat 34428  df-hlat 34457  df-lhyp 35093
This theorem is referenced by:  lhpexle3lem  35116  lhpexle3  35117  cdlemj3  35930
  Copyright terms: Public domain W3C validator