Theorem lhpexlt 35809

Description: There exists an atom less than a co-atom. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpatltex.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
lhpatltex.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpatltex.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexlt	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑊)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐾,𝑝   < ,𝑝   𝑊,𝑝

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑝)

Proof of Theorem lhpexlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 474	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ HL)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		lhpatltex.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	2, 3	lhpbase 35805	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	adantl 473	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
7		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
8	6, 7, 3	lhp1cvr 35806	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
9		lhpatltex.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
10		lhpatltex.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11	2, 9, 6, 7, 10	1cvratex 35280	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑊)
12	1, 5, 8, 11	syl3anc 1477	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 < 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  Basecbs 16079  ltcplt 17162  1.cp1 17259   ⋖ ccvr 35070  Atomscatm 35071  HLchlt 35158  LHypclh 35791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-lhyp 35795

This theorem is referenced by:  lhp0lt  35810