Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpm0atN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpm0atN 35818
Description: If the meet of a lattice hyperplane with a nonzero element is zero, the element is an atom. (Contributed by NM, 28-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpm0at.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpm0at.m = (meet‘𝐾)
lhpm0at.o 0 = (0.‘𝐾)
lhpm0at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpm0at.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpm0atN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → 𝑋𝐴)

Proof of Theorem lhpm0atN
StepHypRef Expression
1 simpr3 1238 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → (𝑋 𝑊) = 0 )
2 simpl 474 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simpr1 1234 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → 𝑋𝐵)
4 simpr2 1236 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → 𝑋0 )
5 hllat 35153 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
65ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → 𝐾 ∈ Lat)
7 lhpm0at.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 lhpm0at.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
97, 8lhpbase 35787 . . . . . . . . . . 11 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
109ad2antlr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → 𝑊𝐵)
11 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12 lhpm0at.m . . . . . . . . . . 11 = (meet‘𝐾)
137, 11, 12latleeqm1 17280 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋 𝑊) = 𝑋))
146, 3, 10, 13syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋 𝑊) = 𝑋))
1514biimpa 502 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 𝑊) = 𝑋)
16 simplr3 1265 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 𝑊) = 0 )
1715, 16eqtr3d 2796 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋 = 0 )
1817ex 449 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊𝑋 = 0 ))
1918necon3ad 2945 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → (𝑋0 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊))
204, 19mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
21 eqid 2760 . . . . 5 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
227, 11, 12, 21, 8lhpmcvr 35812 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑋 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
232, 3, 20, 22syl12anc 1475 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → (𝑋 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
241, 23eqbrtrrd 4828 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
25 simpll 807 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
26 lhpm0at.o . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
27 lhpm0at.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
287, 26, 21, 27isat2 35077 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐴0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
2925, 3, 28syl2anc 696 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → (𝑋𝐴0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
3024, 29mpbird 247 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ∧ (𝑋 𝑊) = 0 )) → 𝑋𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  lecple 16150  meetcmee 17146  0.cp0 17238  Latclat 17246  ccvr 35052  Atomscatm 35053  HLchlt 35140  LHypclh 35773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-p1 17241  df-lat 17247  df-clat 17309  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-lhyp 35777
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator