Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmatb 34783
 Description: An element covered by the lattice unit, when conjoined with an atom, equals zero iff the atom is not under it. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmat.l = (le‘𝐾)
lhpmat.m = (meet‘𝐾)
lhpmat.z 0 = (0.‘𝐾)
lhpmat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpmat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpmatb (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑊 ↔ (𝑃 𝑊) = 0 ))

Proof of Theorem lhpmatb
StepHypRef Expression
1 lhpmat.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 lhpmat.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
3 lhpmat.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
4 lhpmat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 lhpmat.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
61, 2, 3, 4, 5lhpmat 34782 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = 0 )
76anassrs 679 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ ¬ 𝑃 𝑊) → (𝑃 𝑊) = 0 )
8 hlatl 34113 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
98ad3antrrr 765 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → 𝐾 ∈ AtLat)
10 simplr 791 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → 𝑃𝐴)
113, 4atn0 34061 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃0 )
1211necomd 2851 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → 0𝑃)
139, 10, 12syl2anc 692 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → 0𝑃)
14 neeq1 2858 . . . . 5 ((𝑃 𝑊) = 0 → ((𝑃 𝑊) ≠ 𝑃0𝑃))
1514adantl 482 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → ((𝑃 𝑊) ≠ 𝑃0𝑃))
1613, 15mpbird 247 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → (𝑃 𝑊) ≠ 𝑃)
17 hllat 34116 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1817ad3antrrr 765 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → 𝐾 ∈ Lat)
19 eqid 2626 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2019, 4atbase 34042 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2110, 20syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2219, 5lhpbase 34750 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2322ad3antlr 766 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2419, 1, 2latleeqm1 16995 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑊 ↔ (𝑃 𝑊) = 𝑃))
2518, 21, 23, 24syl3anc 1323 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → (𝑃 𝑊 ↔ (𝑃 𝑊) = 𝑃))
2625necon3bbid 2833 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → (¬ 𝑃 𝑊 ↔ (𝑃 𝑊) ≠ 𝑃))
2716, 26mpbird 247 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑃 𝑊) = 0 ) → ¬ 𝑃 𝑊)
287, 27impbida 876 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑊 ↔ (𝑃 𝑊) = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ≠ wne 2796   class class class wbr 4618  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  lecple 15864  meetcmee 16861  0.cp0 16953  Latclat 16961  Atomscatm 34016  AtLatcal 34017  HLchlt 34103  LHypclh 34736 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-preset 16844  df-poset 16862  df-plt 16874  df-lub 16890  df-glb 16891  df-join 16892  df-meet 16893  df-p0 16955  df-lat 16962  df-covers 34019  df-ats 34020  df-atl 34051  df-cvlat 34075  df-hlat 34104  df-lhyp 34740 This theorem is referenced by:  cdlemh  35571
 Copyright terms: Public domain W3C validator