Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpoc2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpoc2N 34767
Description: The orthocomplement of an atom is a co-atom (lattice hyperplane). (Contributed by NM, 20-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpoc.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpoc.o = (oc‘𝐾)
lhpoc.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpoc.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpoc2N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐵) → (𝑊𝐴 ↔ ( 𝑊) ∈ 𝐻))

Proof of Theorem lhpoc2N
StepHypRef Expression
1 hlop 34115 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2 lhpoc.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 lhpoc.o . . . . 5 = (oc‘𝐾)
42, 3opoccl 33947 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊𝐵) → ( 𝑊) ∈ 𝐵)
51, 4sylan 488 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐵) → ( 𝑊) ∈ 𝐵)
6 lhpoc.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 lhpoc.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
82, 3, 6, 7lhpoc 34766 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑊) ∈ 𝐵) → (( 𝑊) ∈ 𝐻 ↔ ( ‘( 𝑊)) ∈ 𝐴))
95, 8syldan 487 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐵) → (( 𝑊) ∈ 𝐻 ↔ ( ‘( 𝑊)) ∈ 𝐴))
102, 3opococ 33948 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊𝐵) → ( ‘( 𝑊)) = 𝑊)
111, 10sylan 488 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐵) → ( ‘( 𝑊)) = 𝑊)
1211eleq1d 2688 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐵) → (( ‘( 𝑊)) ∈ 𝐴𝑊𝐴))
139, 12bitr2d 269 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐵) → (𝑊𝐴 ↔ ( 𝑊) ∈ 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  cfv 5850  Basecbs 15776  occoc 15865  OPcops 33925  Atomscatm 34016  HLchlt 34103  LHypclh 34736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-preset 16844  df-poset 16862  df-plt 16874  df-lub 16890  df-glb 16891  df-p0 16955  df-p1 16956  df-oposet 33929  df-ol 33931  df-oml 33932  df-covers 34019  df-ats 34020  df-hlat 34104  df-lhyp 34740
This theorem is referenced by:  lhprelat3N  34792
  Copyright terms: Public domain W3C validator